Números complexos

Colégio Estadual Vicente Jannuzzi
Prof.: Cesar Cruz – maio / 2012
Módulo IV – Números Complexos (Parte: I) Resumo e exercícios de fixação
Um pouco de história
No século XVI, os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
1) Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária, representada pela letra i, como sendo a raiz quadrada de –1. Pode-se escrever então:

Observe que a partir dessa definição, passam a ter sentido certas operações com números reais, a exemplo das raízes quadradas de números negativos.

2) Potências de i : i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = ( i2 ) . i = ( –1 ) . I = –i i4 = ( i2 )2 = ( –1 )2 = 1 i5 = ( i4 ) . i = 1 . i = i i6 = ( i4 ) . ( i2 ) = 1 . ( –1 ) = – 1 i7 = ( i4 ) . ( i3 ) = 1 . ( –i ) = – i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo ( 1 , i , –1 , –i ) , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim, podemos resumir:

Exemplo: Calcule i2001 Dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i
3) Números Complexos
3.1) Definição: Dados dois números reais a e b , chamamos de números complexos os números da forma: z = a + bi, onde a é a parte real, b é a parte imaginária e é a unidade imaginária .

Quando b = 0 diz-se que o número é real. Consequentemente, os números reais são um subconjunto dos números complexos.
Se a = 0, o número complexo só tem a parte imaginária b e recebe o nome de imaginário puro.
3.2) Formas de representar os complexos: As duas formas