Numeros complexos

1.14 Números Complexos

1.14.1 Introdução

a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um número positivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: [pic], [pic]), também a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um número negativo levou à noção de número imaginário.

b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais.

Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à toda expressão de forma x+jy [1], na qual x e y são números reais e [pic] é a unidade imaginária.

c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau,

az2+bz+c=0

são dadas pela conhecida fórmula

[pic]. (12)

Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo e uma raiz real dupla se ele for nulo.

Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz real e o trinômio az2+bz+c=0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atribua à z. Por exemplo, se tentarmos resolver a equação

z2+4z+13=0

que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a:

[pic]

que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se [pic] fosse um número, teremos:

[pic]

ou seja

[pic]

e

[pic]

Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles são realmente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo [pic] como se ele fosse mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é:

[pic].

Temos então:

[pic]

e

[pic]

A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º grau mesmo quando temos [pic], se operarmos com o símbolo [pic] como se fosse um número. Conforme já mencionado ele deve