Método de newton-raphson

Universidade Castelo Branco
Nome: Tainah Rocha Santos da Silva
Matrícula: 2009150059
Professor: Ernani

Método de Newton-Raphson

Seja a equação fx=0, da qual se conhece a raiz aproximada x0 e seja δ0 o erro dessa raiz: fx0+δ0=0 se fx0+δ0=fx0+f'x0∙δ0+R2=0 onde R2 é um infinitésimo de 2ª ordem em δ0que pode ser escrito como:
R2=δ022!∙f'x0+⋯
e por conseguinte será pequeno se δ0 e se f''x0 não for muito elevado.
Teoricamente o valor δn-1=-fxn-1f'xn-1 tem tendência a ser cada vez menor, o que justifica poder ser desprezado. Desprezando R2 temos que: fx0+f'x0∙δ0=0 Ou seja, δ0=-fx0f'x0 Assim, um novo valor x1=x0-fx0f'x0 mais aproximado da raiz da equação pode ser obtido.
Prosseguindo a iteração, obtém-se uma seqüência de valores sucessivamente mais aproximados da raiz.
A fórmula de recorrência é dada por: xn=xn-1=-fxn-1f'xn-1
As Condições de convergência são agora (por análise intuitiva):
– x0 é suficientemente próximo de uma raiz da equação.
– f''x não toma valores excessivamente grandes
– f'x não é muito próxima de zero

O gráfico seguinte traduz a aplicação do método de Newton-Raphson a uma função.

O gráfico seguinte mostra um caso em que o método não converge. Note-se que entre x0 e x1 existe um ponto de inflexão da função fx e que em x1 a derivada f'x é próxima de zero.

As condições suficientes de convergência podem ser estabelecidas com mais rigor:
– Seja a,b um intervalo que contém uma só raiz da equação fx=0. A sucessão de valores xi gerados pelo método de Newton-Raphson é monótona e limitada pela raiz x0 e, portanto, convergente se: – f'x≠0, ∀x∈a,b – f''x é de sinal constante em a,b, ou seja, f''a∙f''b>0 – O valor inicial x0 for o extremo do intervalo a,b em que f0∙f''x0<0, isto é, toma-se x0=a ou x0=b de modo que fx0 tenham o mesmo sinal.

Exemplo
– Tendo em atenção a função fx=-34x5+214x4-494x3+394x2+x-2=0 e sabendo que admite pelo menos uma raiz real no intervalo 0,1. Calcule utilizando o método de