Método de Newton Raphson

Método de Newton Raphson

Vimos no método do ponto fixo que, dado f(x) = 0 , esta equação poderia ser transformada em x= (x) e, daí, ser desenvolvido um processo iterativo onde, dado x0, seriam calculados x1= (x0), x2= (x1) ...xi+1= ( xi ), na expectativa de que a seqüência convirja para a raiz .
Vimos, também, que há diferentes maneiras de se construir (x), sendo que para alguns haverá convergência para a raiz e para outros não convergirá.
A idéia central no método de Newton-Raphson é a de escolher uma função , tal que a derivada de , na raiz que se está procurando, seja zero. Assim teremos, não só garantia da convergência quanto convergência muito rápida.
Então, dada f(x), a função de iteração (x) = será tal que ´()=0.
Assim escolhido x0, a seqüência {xk} será determinada por: k=0,1,2... Em outras palavras, a estimativa do zero da função f(x) é feita a partir da reta tangente à função em um ponto de partida. O ponto em que a reta tangente intercepta o eixo das abscissas corresponde á estimativa do zero da função.

Algoritmo
Seja a equação f(x)=0
Supor que as hipóteses de convergências estejam satisfeitas
1) Dados iniciais:
a) x0: aproximação inicial;
b) : precisões 2) Se |f(x0)| < , faça . Fim 3) k=1 4) x1= 5) Se |f(x1)| < ou se |x1 – x0| < , então faça . Fim 6) x0 = x1 7) k = k + 1 Volte ao passo 4. Exemplo
1 – Seja f(x)=x3 –9x +3, x0=0,5; , , encontre a raiz.
Iteração
x
F(x)
0
0,5
-1,375
1
0,333333333
0,037037037
2
0,337606837
0,000018343 = 0,337606837

Exercícios
1- Encontre raízes aproximadas para as funções abaixo com
a) f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x –3 I = [0, 1] R:
b) f(x) = x3 – 6x2 + 9x –3 I = [0, 1] R:
c) f(x) = x3 – x – 4 I = [1, 2] R:
d) f(x) = x3 – 3x – 6 I = [2, 3] R: