Método da Eliminação de Gauss

Método da Eliminação de Gauss
Sem Pivoteamento

Introdução

A Eliminação de Gauss é um método utilizando para resolver sistemas de equações lineares. Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares em um sistema linear, afim de transformar em um sistema de mais fácil resolução,tendo este as mesmas soluções que o original.

Objetivo

Obter um solução exata de um sistema de equações lineares da forma BX=C,onde, B é uma matriz quadrada de ordem n, X e B são vetores colunas de ordem n x 1.

(1) Método consiste em utilizar um numero finito de transformações elementares e consideras elementos da diagonal principal (não nulos ) chamados pivôs.
(2) Se, por exemplo, a11 ≠ 0, a linha do pivô é mantida e os outros elementos da i-ésima coluna ficam zerados.
(3) O transformado de um elemento que não aparece na linha nem na columa do pivô é igual a este elemento menos o produto contradiagonal dividido pelo pivô.
(4) O processo repete-se escolhendo novos pivôs (não nulos) que não figurem na linha nem na coluna anteriores.
(5) O processo termina quando já não é possível tomar novos pivôs.
(6) Depois, inicia-se o processo de substituição para cima.

Desenvolvimento

Exemplo

Resolva o seguinte sistema de equações lineares:

Podemos escrever este sistema linear na forma matricial:

=

1º Passo: A Matriz Aumentada. Define-se primeiro a matriz aumentada:

A=

A três primeiras colunas desta matriz coincidem com as colunas da matriz do sistema e a última coluna é a dos termos da direita do sistema de equações lineares.

2º Passo: Processo de eliminação.

Como , este elemento será o nosso primeiro pivô. Define-se e calculam-se os outros elementos transformados da segunda linha seguindo a regra 3 acima:

Depois, define-se , e determinam-se outros elementos transformados da terceira linha:

Desta forma a nova matriz aumentada transformada após esta primeira