Calculo 1

MAP 2121 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI)
Lista de Exercícios sobre Sistemas Lineares
1: Utilizando o método de eliminação de Gauss, calcule o determinante e a seguir a inversa da matriz abaixo. Efetue todos os cálculos utilizando frações.


−1 0
2 0
 4 1
3 1 

A=
 2 2 −1 1  .
0 0
1 0
2: É dado o sistema linear:

3
 2x1 + x2 + 6x3 =
4x1 − 2x2 + x3 =
2
 x1 − 5x2 − 2x3 = −4
(a) Resolva o sistema dado pelo método de Gauss com condensação pivotal, utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
(b) Efetue uma iteração de refinamento da solução.
(c) Verifique se o sistema linear dado satisfaz o Critério de Sassenfeld. Em caso negativo, troque a posição das equações no sistema, de forma que, para o sistema equivalente assim obtido, o Critério das Linhas assegure a convergência do Método de
Gauss-Seidel.
(0)

(0)

(0)

(d) Sem efetuar as iterações, e partindo da aproximação inicial x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, bem como sabendo que |x1 | ≤ 2, |x2 | ≤ 2, |x3 | ≤ 2, determine um número de iterações que assegure um erro inferior a ε = 0, 01 em cada uma das variáveis, ao se aplicar o Método de Gauss-Seidel ao sistema para o qual tal método converge, conforme o item (c).
(0)

(0)

(0)

(e) Calcule duas iterações pelo Método de Gauss-Seidel a partir de (x1 , x2 , x3 ) =
(0, 0, 0).
3: O sistema linear Ax = b (com A e b dados abaixo) foi resolvido pelo método de eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante de dois algarismos significativos. Os resultados obtidos foram os seguintes:
 


1
4 2 3
 1 ,
 4 3 1 ,
A=
b=
2 5 1
1


4
2
3
1
 0.5 4
−0.5
0.5 
1 0.25 −1.9 −0.13 p1 = 1 , p2 = 3 , x = (0.14, 0.13, 0.068),
˜
onde [A∆ |b∆ ] representa a matriz aumentada triangularizada, juntamente com os multiplicadores, p1 e p2 são as informações sobre as permutações de linhas e x é a aproximação da
˜
solução obtida. Usando as informações acima, faça uma etapa de refinamento