MATRIZES

Matrizes
Defini¸˜o
ca
Defini¸˜o. Uma matriz m × n ´ uma tabela de mn n´meros dispostos em m linhas e n colunas ca e u 

a11 a12 ... a1n
 a21 a22 ... a2n 


A=
. ..
. .
.
.
.
. 

.
.
.
.
am1 am2 ... amn
Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos, desde que seus elementos sejam todos do mesmo tipo, neste curso em n´ introdut´rio lidaremos apenas com matrizes cujos elementos s˜o n´meros ıvel o a u reais; por esse motivo, tais matrizes s˜o chamadas de matrizes reais. A defini¸˜o matematicamente precisa a ca para uma matriz real A, m × n, ´ a seguinte: A ´ uma fun¸˜o A : [1, m] × [1, n] → R; ao inv´s da nota¸˜o e e ca e ca usual para fun¸˜es aplicadas em elementos A(i, j), para matrizes usa-se a nota¸˜o indexada Aij . Quando se co ca fala de matrizes, esta defini¸˜o ´ implicitamente entendida, mas ningu´m se refere a matrizes como fun¸˜es ca e e co de modo expl´ ıcito. Ficamos satisfeitos com a compreens˜o intuitiva e a f´cil visualiza¸˜o proporcionada pela a a ca defini¸˜o pouco rigorosa anterior. ca Exemplo 1.

4
3
π
 7 −1
3 

A=

 5
√0 −27
6
−2
2 10


´ uma matriz 4 × 3. e A i-´sima linha de A ´ e e ai1 ai2

... ain

onde i = 1, ..., m, isto ´, i pode ser qualquer n´mero entre 1 e m. e u
A j-´sima coluna de A ´ e e

 a1j  a2j 


 . .
 . 
.
amj onde j = 1, ..., n, isto ´, j pode ser qualquer n´mero entre 1 e n. e u
Exemplo 2. A 2a linha da matriz A do Exemplo 1 ´ e 7 −1

1

3

.

A 3a coluna de A ´ e 

 π 
3 


 −27  .
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Matrizes em geral s˜o denotadas na forma a A = (aij )m×n , ou simplesmente
A = (aij ), quando n˜o h´ necessidade de enfatizar a dimens˜o m × n da matriz. a a a Existem duas nota¸˜es padr˜o para um elemento individual de uma matriz: co a aij ou

[A]ij

representam o elemento da matriz A que ocupa a posi¸˜o ij, ou seja, est´ na linha i e na coluna j.
ca