Matrizes

MATRIZES – DETERMINANTES E INVERSA – 2012 - GABARITO

1. Dadas as matrizes A = e B = , determine a e b, de modo que A.B = I, onde I é a matriz identidade.

Solução. Efetuando as operações, temos:

.

2. Mostre que a matriz é a inversa da matriz .
Solução. O produto de duas matrizes inversas é a matriz identidade.

.

3.Resolva as equações: a) b)
Solução. Calculando os determinantes, temos:

a) .

b) .

4. Dada a matriz , determine: AT; e .
Solução. Utilizando as definições das matrizes pedidas, temos:

.

5. Se A = e B = , calcule (A.B-1)t.
Solução. Efetuando as operações, temos:

.

6. Calcule os determinantes de: a) b)

a) a regra de Sarrus b) Regra de Laplace c) Regra de Chió

Solução. Aplicando os respectivos procedimentos, temos:

a) .

b) .

7. Calcule as inversas das matrizes: a) b)
Solução. Calculando pela matriz adjunta (inversa da matriz cofatora), temos:

a) .
b) .

8. (ITA) Considere P a matriz inversa da matriz M, onde . Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz P.

Solução. Encontrando a inversa de M, temos:

.

9. (ITA) Seja a matriz 3x3 dada por . Sabendo-se que B é a inversa de A, calcule a soma dos elementos de B.

Solução. O determinante de A é: det A = -1.(2 – 0) = - 2. Calculando a inversa de A, temos:

.

10. Calcule o elemento a32 da inversa da matriz .

Solução. O elemento a23 é o resultado da divisão do elemento A32 da matriz cofatora de M pelo determinante de M. O determinante de M é: det M = 1(4 – 6) – 2(8 – 15) + 4(4 – 5) = -2 + 14 – 4 = 8.

.

11. (FGV) Considere a equação onde e . Calcule a soma das raízes dessa equação.

Solução. Resolvendo, temos:

.