matrizes

2. Matrizes – Operações com Matrizes - Continuação
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Propriedades da Matriz Transposta:

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(A + B)’ = A’+ B’



(λA)’ = λA’



(A’)’= A



(AB)’= B’A’

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OBS 1: uma matriz quadrada é simétrica se A’=A????

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OBS 2: o produto de uma matriz quadrada pelo sua transposta é igual a uma matriz simétrica???

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Matriz Anti – Simétrica: é uma matriz quadrada em que A’=-A

2. Matrizes – Operações com Matrizes - Continuação
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Potência de uma Matriz: uma matriz quadrada A =aij pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas operações é chamada de potência n da matriz A.

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Exemplos

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Matriz Idempotente: é uma matriz quadrada periódica na qual a matriz A elevado em uma potência 2 é igual a própria matriz A.

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Matriz Nihilpotente: é uma matriz quadrada periódica na qual a matriz A elevado em uma potência é igual a uma matriz nula na qual ao índice da matriz refere-se à àquele que índice que zerou a matriz.

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Exemplos

3. Matrizes – Inversão de Matrizes
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Inversa de uma Matriz: Todo número real a, não nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um número b, tal que a b = b a = 1. Este número é único e o denotamos por A-1. Apesar da álgebra matricial ser semelhante a álgebra dos números reais, nem todas as matrizes A não nulas possuem inversa, ou seja, nem sempre existe uma matriz B tal que AB = BA = In. De início, para que os produtos
AB e BA estejam definidos e sejam iguais é preciso que as matrizes A e B sejam quadradas. Portanto, somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que já diferencia do caso dos números reais, pois todo número não nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas não possuem inversa, apesar do conjunto das que não tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem.

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Exemplos.

3. Matrizes – Inversão de Matrizes
Propriedades:
 Se A é uma matriz invertível, então ao A-1 também o é e: