Matrizes

Definição: Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz é uma dupla seqüência de números (reais ou complexos), distribuídos em m linhas e n colunas, formando um arranjo retangular, que se indica na forma ou na forma abreviada por , e cada número aij que compõe a matriz chama-se termo dessa matriz.
Operações com Matrizes
a) Adição
Sejam duas matrizes : e . Define-se a soma de A com B, e denota-se por , como sendo a matriz .
b) Multiplicação por escalar
Seja uma matriz , , e R. Define-se o produto de por A, e denota-se por , como sendo a matriz .
c) Multiplicação de Matrizes
Seja uma matriz , , e uma matriz , . Define-se o produto de A por B e denota-se por , como sendo a matriz onde .
O que essa definição diz é que, para formar o elemento , deve-se tomar a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B, multiplicar os elementos correspondentes dois a dois e somar os números resultantes; isto é, .
Propriedades
Cada uma das afirmações a seguir é válida quaisquer que sejam os escalares e quaisquer que sejam as matrizes A, B e C para as quais as operações indicadas estão definidas.
1. A + B = B + A (comutativa para a adição)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (associativa para a adição)
3. A + O = A (existência do elemento neutro)
4. A + (-A) = O (existência do elemento oposto)
5. A = (A) (associativa para a multiplicação por escalar)
6. ()A = A + A (distributiva)
7. (A + B) = A + B (distributiva)
8. 1A = A
9. (AB)C = A(BC) (associativa para a multiplicação)
10. A(B + C) = AB + AC (distributiva à direita para a multiplicação)
11. (A + B)C = AC + BC (distributiva à esquerda para a multiplicação)
12. (AB) = (A)B = A(B) (associativa)
13. IdmA = AIdn = A ( A uma matriz )

Operações elementares
Seja uma matriz , . Entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas:
Permutar duas linhas de A;
Multiplicar uma linha de A por um número diferente se zero;
Somar a uma linha de A uma outra linha de A.