Lista Autovetores

U N IV ERSIDADE DO EST ADO DE SAN T A CAT ARIN A U DESC
^ CIAS T ECN OLOGICAS CCT
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Exercícios sobre AUTOVALORES e AUTOVETORES
Professora: Graciela Moro
1. Encontre os autovalores e autovetores das transformações lineares dadas:
(a) T : R2 ! R2 tal que T (x; y) = (2y; x)

(b) T : R2 ! R2 tal que T (x; y) = (x + y; 2x + y)
(c) T : R3 ! R3 tal que T (x; y; z) = (x + y; x
2

y + 2z; 2x + y

z)

2

(d) T : P2 ! P2 tal que T (ax + bx + c) = ax + cx + b
(e) T : M (2; 2) ! M (2; 2) tal que A ! AT

2. Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das
2
2
3
2
3
2
1 2 3
1 0 2
6 0
a) A = 4 0 1 2 5 b) A = 4 1 0 1 5 c) A = 6
4 12
0 0 1
1 1 2
0

matrizes
0
2
0
1

1
0
3
0

3
0
1 7
7:
0 5
0

3. (ENADE) Uma transformação linear T : R2 ! R2 faz uma re‡exão em relação ao eixo horizontal, conforme mostrado na …gura a seguir.

Essa transformação T
a) é dada por T (x; y) = ( x; y):
b) tem autovetor (0; 1) com autovetor associado igual a 2:
c) tem autovetor (2; 0) com autovetor associado igual a 1:
d) tem autovetor de multiplicidade 2:
e) não é inversível.
1

4. Construa uma matriz 2x2 não diagonal com autovalores 1 e

1 :

5. Encontre a transformação linear T : R2 ! R2 ; tal que T tenha autovalores associados aos autovetores (3y; y) e ( 2y; y) respectivamente.

2e3

6. Que vetores não nulos do plano, quando cisalhados por C(x; y) = (y 3x; y) e em seguida girados de 45o (no sentido anti-horário) …cam ampliados / reduzidos (na mesma direção) ? Em quantas vezes ?
7. Determine os autovalores e autovetores, se existirem, do operador linear T : R3 ! R3 obtido quando se faz uma rotação de rad em torno do eixo x; seguida de uma
1
contração de 2 :
8. Seja T : <2 ! <2 um operador linear que dobra o comprimento do vetor (1; 3) e triplica e muda o sentido do vetor (3; 1):
(a) Determine T (x; y)
(b) Calcule T (0; 2)
(c) Qual a matriz do operador T na base f(2; 1); (1; 2)g
1 0
0 1
1 0
; v2 =
, v3 =
0 0
0 0
1 0

9. Seja T : M (2; 2) !