Defini es de ALA 2014

Lista de definições de ALA (P1) 1) Matriz Inversa:
­
­
a) A
¹ A = A A
¹ =
I
­
b) A
¹ A v = v
­
c) Det(A) = 1/ Det(A
¹)

2) Matriz transposta
Um elemento a vira a
.
i j j i 3) Matriz Simétrica t a) A = A b) [ a b ] = [ a b ]
[ b d ] [ b d ]
c) Obrigatoriamente ela deve ser quadrada. Ex: 2x2 ; 3x3; etc. 4) Matriz Ortogonal t t
a) Q
Q
= Q Q =
I ou

. .

b) ||v|| = ||Qv|| e v w = Qv Qw
5) Matriz Rotação

­

a) R = [ cos o sen o ] o [ sen o cos o ]
DETERMINANTE = 1 = cos2θ + sen2θ
b) || R v || = || v || ( não muda a norma do vetor ) o c) R v . R w __=
_ v .w
. (não muda o ângulo entre os vetores) o o
||R
v|| ||R w|| || v || || w || o o

. .

d)R v R w = v w ( Não afeta o produto interno) o o

6) Matriz Espelhamento (Reflexão) θ é o angulo que o vetor em questão faz com o eixo­espelho.
Eθ = [cos(2θ) sen(2θ)] ⇒
Em qualquer ângulo. [sen(2θ) − cos(2θ)] ⇒ 2θ
E = [1 0] ⇒ Espelhamento no eixo x. É uma matriz ortogonal. [0 − 1]
Propriedades:
1. || v || =|| Eθv || ⇒ A norma não varia.

2. v.w = Eθv.Eθw
3. Det( Eθ ) = ­1 ⇒ P reserva a área.
PORQUE MENOS UM? Não coloquei ­1.
Coloquei 1. Depende do eixo. De qualquer forma, preserva a área.
4. Eθ . Eθ = I
5. Eθ . u = u

7) Matriz Projeção
a) P = 1/(a² + b²) * [ a² a*b ]
A

[ a*b b² ] t t
b) P = AA / A
Ax
A 8) Matriz Escalonamento
M esc = [α 0] [0 1α] 9) Matriz Cisalhamento (Itálico)
C = [1 α] [0 1] 10) Matriz Identidade
a) Diagonal principal = [1]
b) Det( I ) = 1
c) I = [1 0] [0 1] 11) Determinante
A= [a c] ⇒ É o número real
a.d ­ b.c [b d] área final área inicial = a.d ­ b.c |Det(A)| = 1, a transformação NÃO muda a área.
|Det(A)| > 1, expansão
|Det(A)| < 1, contração