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11ª Lista de AL: Matriz Inversa, Determinantes, Autovalores e Autovetores
1) O produto matriz-vetor pode ser visto como:
(a) combinação linear das (linhas, colunas) da matriz.
(b) produtos escalares com as (linhas, colunas) da matriz

2) Seja um operador linear tal que dim(V) = n. Suponha que seja uma base de autovetores para V associados, respectivamente, aos autovalores .
(a) Se , determine .
(b) Determine , ou seja, a matriz que representa T na base .

3) Seja D uma matriz diagonal dada por . Calcule = k fatores de D, em que .

4) Seja A uma matriz diagonalizável tal que . Mostre que .

5) Suponha que u seja um autovetor associado ao autovalor 2 e que v seja um autovetor associado ao autovalor 3. Então:
(a) -u é autovetor associado ao autovalor (-2; 2;-3; 3);
(b) 2v é autovetor associado ao autovalor (2; 3; 4; 6).
(c) u + v (é; não é) autovetor associado ao autovalor 5.

6) Considere o vetor = (0,..., 0). Determine se é Verdadeiro ou Falso:
(a) ( ) Como T() = 0., o número 0 é autovalor de ;
(b) ( ) Como T() = = , o vetor é autovetor de T.

7) Determine se é Verdadeiro ou Falso:
(a) ( ) Toda TL possui pelo menos um autovalor real;
(b) ( ) Se uma TL possui núcleo diferente de então possui um autovalor.
(c) ( ) Se o espectro de uma TL é {2, 3, -1} então ela é invertível.

8) Se , então T possui no máximo ____ autovalores distintos.

9) Se possui como polinômio característico =, então:
(a) n = ____ (b) dim(Nuc(T)) = _____ (c) dim(Nuc(T - 3I)) = ______ (Obs: Note que 3 não é autovalor de T).

10) Se a matriz quadrada B não possui inversa então 0 (é, não é) autovalor de B.

11) Determine se é Verdadeiro ou Falso. Se possui:
(a) ( ) 6 autovalores distintos então T é diagonalizável.
(b) ( ) 2 autovalores distintos então T não é diagonalizável.

12) Sabendo que todo autovetor de A é múltiplo de (1, 1, 1), então A (é, não é, pode ser) diagonalizável.

13) Se então seus autovalores são ________.