Exercícios Álgebra

LISTA PARA SEGUNDA PROVA - ÁLGEBRA LINEAR
1. Relativamente aos espaços vetoriais reais, indique quais das transformações são lineares:
a. f : IR2 → IR2 definida por f ((x, y)) = (k1 , k2 ) com k1 e k2 elementos reais fixos.
b. f : IR2 → IR2 definida por f ((x, y)) = (sen(x), y).
c. f : IR3 → IR2 [x] definida por f ((a, b, c)) = a + bx + cx2 .
2. Considere a transformação f : P2 → P3 definida por: f (p) = x2 p (x).
a. Mostre que f é uma transformação linear.
b. Sejam 1, 1 + x, 1 + x + x2 a base de P3 e 1, 1 + x, 1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 a base de
P4 . Determine a matriz que representa f em relação a essas bases.
c. Determine Ker( f ) e Im( f ).
3. Considere o espaço vetorial P2 . Seja f : P2 → P2 a transformação linear definida por: f (p) = p + 4p + p. Determine a matriz da transformação linear f em relação à base x, 1 + x, x + x2 , x3 fixada nos respectivos espaços vetoriais domínio e contradomínio de f . a+b c
.
b a 4. Considere a aplicação f : P2 → M2x2 definida por: f (a + bx + cx2 ) =
a. Mostre que 1, x, 1 + x2 e

1
0

0
0

,

1
0

1
0

,

1
1

1
0

,

1
1

1
1

são bases de P3 e

M2×2 , respectivamente.
b. Mostre que f é uma transformação linear.
c. Determine a matriz de f relativamente às bases do item a.
d. Determine Ker( f ) e Im( f ).
5. Determinar os autovalores e autovetores do operador T de IR4 cuja matriz em relação a base canônica é


 3 1 0 0 




 0 3 0 0 








 0 0 4 0 








0 0 0 3
1 1 a matriz de um operador do IR2 . Encontre os autovalores de T. Existem, neste
0 1 caso, dois autovetores linearmente independentes?


 2 4
0 








7. Determinar M ∈ M3 (IR) invertível tal que M −1 AM seja diagonal onde A =  3 −4 12 






1 −2 5

6. Seja

8. Considere o operador linear T : IR3 → IR3 cuja matriz em relação a base canônica dada por


 1 1 2 







 0 1 3 


