Exercicios de Algebra

Outros exercícios de Álgebra Linear
1) Dada T: IR 3 → IR 2 tal que T(x, y, z) = ( x – 2y + z, 2x + y – 3z) , determine a sua matriz em relação às bases:
B = { ( 1, 1, 0 ), ( –1, 0, 2 ), (0, 0, 1 ) } e C = {( 1,–1 ), ( 0, 1 ) }
RESP: ( T ) B,C =

−1 1
1
2 −7 −2

2) Dada T: IR 3 → IR 2 tal que T(x, y, z) = ( x +6y –3 z, x +4 y – 2z) , determine a sua matriz em relação às bases:
B = { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), (1, 0, 0 ) } e C = {( 1,1 ), ( 1, 0 ) }
RESP: ( T ) B,C =

3)

3 5 1
1 2 0

Determinar , se existirem, os autovalores e os autovetores associados a T: IR 2 → IR 2 em relação à base canônica do IR 2 sendo dada a matriz
3 −1
1 −1
2 2
a) M =
b) M =
c) M =
1 1
2 −1
1 3

d) M =

4 2
3 3

e) M =

5 −1
1

3

.

RESP: a) λ = 2 , v = (1,1)
b) não existem autovalores nem autovetores
c) λ 1 = 1 e λ 2 = 4 , v 1 = (–2, 1) e v 2 = (1, 1)
d) λ 1 = 1 e λ 2 = 6 , v 1 = (1, –

3
)ev
2

2

= (1, 1)

e) λ = 4 e v = ( 1,1)
Resumo importante: Quando vamos determinar o núcleo estamos resolvendo um sistema homogêneo. Suas soluções são : ou o vetor nulo ou um vetor dado em função de uma das variáveis.
A transformação é injetora quando N(T) é dado pelo vetor nulo, sendo sua base o conjunto vazio e a dimensão do núcleo é zero.
A transformação é sobrejetora quando a dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço.

Observe esses exercícios resolvidos:

1) Seja a transformação linear T : R 3 → R 2 , T ( x, y, z ) = ( x − y + 4 z, 3 x + y + 8 z )
Neste caso, o núcleo é dado por: N (T ) = {( x, y , z ) ∈ R 3 | T ( x, y, z ) = (0, 0)} , isto é, um vetor ( x, y, z ) ∈ N (T ) se, e somente se, ( x − y + 4 z , 3x + y + 8 z ) = (0, 0) ou
 x − y + 4z = 0

3 x + y + 8 z = 0

sistema homogêneo cuja solução é x = −3 z e y = z . Logo,

N (T ) = {( −3 z , z , z ) | z ∈ R}

Base do núcleo : ( –3z,z,z) = z ( –3,1,1)
O núcleo é gerado por esse vetor N ( T ) = [( –3,1,1)]
( –3,1,1) ≠ ( 0, 0, 0 ) . Logo , é L I.
Logo, B N (T ) = {( –3,1,1)} e dimN( T )= 1. T não é injetora

2) Determine o núcleo e a