exercicio de algebra
Universidade Federal de Ouro Preto
Matemática Discreta I
Prof. Lucília Figueiredo
Lista de Exercícios 07
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Exercícios para entregar
Exercícios 2, 4, 7, 13, 14, 16 capítulo 4 (pag. 98) do livro The Book of Proof.
Exercícios 3, 5, 9, 12 capítulo 5 (pag. 108) do livro The Book of Proof.
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Definições úteis
Definição 1 Seja n ∈ Z. n é par se existe k ∈ Z tal que n = 2k; n é impar se existe k ∈ Z tal que n = 2k + 1.
Definição 2 Sejam n, d ∈ Z. Dizemos que n é divisível por d (notação d|n) se existe k ∈ Z tal que n = kd.
Definição 3 Um número n é um quadrado perfeito se existe k ∈ Z tal que n = k 2 .
Definição 4 Seja n ∈ Z e n > 1. n é primo se, para quaisquer m, k ∈ Z tais que n = mk, temos m = 1 ou k = 1; n é composto caso contrário, isto é, se existem m, k ∈ Z tais que n = mk e m = 1 e k = 1.
Definição 5 Seja r ∈ R. r é racional se existem p, q ∈ Z tais que r = p/q e q = 0; r é irracional caso contrário.
Definição 6 O Máximo divisor comum de dois inteiros a e b, denotado como mdc(a, b) é o maior inteiro que divide tanto a quanto b. O mínimo múltiplo comum de dois inteiros a e b, denotado como mmc(a, b), é o menor inteiro que é múltiplo tanto de a quanto de b. Observações: mdc(a, 0) = mdc(0, a) = |a| se a = 0; mdc(0, 0) = ∞.
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Exercícios Resolvidos
Tente faze-los antes de ver a solução.
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1. Prove que, se n é impar, então 3n + 9 é par.
Prova: Suponha n ímpar, isto é, n = 2k + 1 para algum k ∈ Z. Temos
3n + 9 = 3(3k + 1) + 9 = 6k + 12 = 2(3k + 4)
Então, 3n + 9 = 2k , onde k = 3k + 4. Portanto, 3n + 9 é par.
2. Prove que, se a soma de dois inteiros é par, então sua diferença também é par.
Prova: Sejam n, m ∈ Z e suponha n + m par, isto é, n + m = 2k para algum k ∈ Z. Temos n − m = (n + m) − 2m = 2k − 2m = 2(k − m)
Então n − m = 2k , onde k = k − m e, portanto, n − m é par. Note que m − n = −(n − m) e, portanto, m − n é também par.
3. Prove que, se n e m são quadrados perfeitos, então (n m) é