Ivan

Modelagem Matemática e Sistemas Dinâmicos
4ª Lista de Exercícios – Modelos Matemáticos

Dinâmica Populacional
1. Sob as mesmas hipóteses subjacentes ao modelo em (1), determine a equação diferencial que governa o crescimento populacional P(t) de um país quando os indivíduos têm autorização para imigrar para uma taxa constante r. Qual é a equação diferencial quando os indivíduos têm autorização para emigrar a uma taxa constante r?
2. O modelo dado em (1) não leva em conta a mortalidade; a taxa de crescimento é igual à taxa de natalidade. Em um outro modelo de variação populacional de uma comunidade supõe-se que a taxa segundo a qual a população varia é uma taxa líquida – isto é, a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade na comunidade. Determine uma equação diferencial que governe a evolução da população P(t), se as taxas de natalidade e mortalidade forem ambas proporcionais à população presente no instante t.
3. Usando o conceito de taxa líquida introduzido no problema 2, determine uma equação diferencial que governe a evolução da população P(t), se as taxas de natalidade for proporcional à população presente no instante t, mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da população presente no instante t.
4. O número de ratos do campo em uma determinada pastagem é dado pela função 200 - 10t, onde t é medido em anos. Determine uma equação diferencial que governe uma população de corujas que se alimentam de ratos, se a taxa segundo a qual cresce a população de corujas for proporcional à diferença entre o número de corujas e o número de ratos do campo no mesmo instante t.

Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento
5. Uma xícara de café esfria de acordo com a lei do esfriamento de Newton (3). Use os dados do gráfico de temperatura T(t) da Figura 1.23 para estimar as constantes Tm, T0 e k em um modelo da forma de um problema de valor inicial de primeira ordem: dT/dt = k(T – Tm), T(0) = T0.

6. A temperatura ambiente Tm