Integrais trigonométricas

Integrais Trigonométricas –
Uma atenção especial
Integrais Trigonométricas –
Uma atenção especial

Observe a integral abaixo: cos³x dx Avaliando a integral acima não nos ajuda muito chamarmos u = cos x, pois apareceria du = - sen x . Para resolver a integral proposta é necessário converter o fator cos² x na identidade trigonométrica sen² x + cos ² x = 1. Logo, cos ³ x = cos² x . cos x = (1 – sen ²x). cos x Podemos chamar u = sen x. Então aparecerá: du = cos x du cos³ x dx = cos² x .cosx dx = 1-sen2x.cosx dx = 1-u2du =u - 13.u³+C = sen x - 13. sen³ x +C Exemplo: sen5x. cos2x dx sen 5 x . cos² x = (sen² x)² . sen x . cos² x = (1 – cos²x)² . sen x . cos² x u = cos x. Logo, - du = sen x dx -1-u22. u²du = -u²-2u4-u6du = - (13.u³- 25.u5+ 17.u7) +C = -1 3.cos3x+ 25.cos5x+17cos7+C

Estratégia para avaliar: * Se a potência do cosseno é ímpar (n = 2k + 1), guarde um fator cosseno e use cos² x = 1 – sen² x para expressar os fatores remanescentes em termos de seno. senmx. cos2k+1x dx = senmx. cos2xk.cosxdx = senmx. 1-sen2xk.cosx dx Para este caso: u = sen x * Se a potência do seno é ímpar (m = 2k + 1), guarde um fator seno e use sen² x = 1 – cos ² x para expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno. sen2k+1x. cosnx dx = sen2xk. sen x .cosnx dx = 1-cos2xk. sen x .cosnx dx Para este caso : u = cos x * Se as potências do seno e do cosseno são pares, utilizamos as identidades dos ângulos metade: sen² x = ½ (1 – cos 2x) cos² x = ½ (1 + cos 2x) Às vezes é útil usar a identidade: sen x.cos x = ½ sen 2x Para avaliar as integrais da forma: tgm x. secnx dx não se pode esquecer que ddx tg x = sec² x. Então podemos separar em um fator sec²x e converter a potência par da secante remanescente para uma expressão envolvendo a tangente utilizando a identidade sec² x =1 +tg²x ou, como ddx sec x = sec x . tg x , podemos separar um fator sec x . tg x e