Integrais trigonom tricas

23/04/2015

Integrais por substituições trigonométricas

Integrais por substituições trigonométricas
Índice
1o Caso

Observação 1

Exemplo 1.1

Exemplo 1.2

2o Caso

Observação 2

Exemplo 2.1

Exemplo 2.2

3o Caso

Observação 3.1

Exemplo 3.1

Exemplo 3.2

Observação 3.2

Exemplo 3.3

1o Caso:

Voltar ao Índice Observação 1:
O domínio da função é [­a, a], justamente o conjunto de valores

que a.cos(t) e a.sen(t) podem assumir. Tomando a a substituição x = a.cos(t) ou x = a.sen(t), na integral I, obtemos uma integral de função racional em sen(t) e cos(t)
Voltar ao Índice Exemplo 1.1

Seja a substituição x = 2cos(t)  dx = ­2sen(t)dt.
Temos então

http://www.mat.ufba.br/mat042/aula9/aula9.htm#Exemplo 3.3

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Integrais por substituições trigonométricas

Um triângulo retângulo, como na figura a seguir, facilita bastante a visualização das relações trigonométricas envolvidas nos cálculo. t é um ângulo agudo do triângulo
Os lados do triângulo são os termos

(Lembre­se do Teorema de Pitágoras!)

Voltar ao Índice Exemplo 1.2

Voltar ao Índice http://www.mat.ufba.br/mat042/aula9/aula9.htm#Exemplo 3.3

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Integrais por substituições trigonométricas

2o Caso:

Voltar ao Índice Observação 2
O domínio da função é (­ , ­a]  [a, + ), justamente o

conjunto de valores que a.sec(t) e a.cossec(t) podem assumir. Tomando a a substituição x = a.sec(t) ou x = a.cossec(t) , na integral I, obtemos uma integral de função racional em sen(t) e cos(t)
Voltar ao Índice Exemplo 2.1

z = sen(t)  dz = cos(t)dt

http://www.mat.ufba.br/mat042/aula9/aula9.htm#Exemplo 3.3

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Integrais por substituições trigonométricas

Voltar ao Índice Exemplo 2.2

x2 ­ 2x ­3 = (x2 ­2x + 1) ­1 ­3 = (x­1)2 ­ 4

Com a substituição z = x ­1  dz = dx, obtemos a integral do exemplo anterior Voltar ao Índice 3o Caso:

Voltar ao Índice Observação 3.1
O domínio da função é R, justamente o conjunto de valores