Integrais Impróprias

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Técnicas de Integração

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7.8

Integrais Impróprias

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Integrais Impróprias
Nessa seção, estendemos o conceito de integral definida para o caso em que o intervalo é infinito e também para o caso onde f tem uma descontinuidade infinita em [a, b]. Em ambos os casos, a integral é chamada de integral imprópria. 3

Tipo 1: Intervalos Infinitos

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Tipo 1: Intervalos Infinitos
Considere a região infinita S que está sob a curva y = 1/x2, acima do x e à direita da reta x = 1. Você poderia pensar que, como S tem extensão infinita, sua área deve ser infinita, mas vamos olhar mais de perto. A área da parte de S que está à esquerda da reta x = t
(sombreado na Figura 1) é

Figura 1

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Tipo 1: Intervalos Infinitos
Observe que A(t) < 1 independentemente de quão grande t sela escolhido. Também observamos que

A área da região sombreada se aproxima de 1 quando t (veja a Figura 2), assim, dizemos que a área da região infinita S é igual a 1 e escrevemos

Figura 2

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Tipo 1: Intervalos Infinitos
Usando esse exemplo como um guia, definimos a integral de ƒ (não necessariamente uma função positiva) sobre um intervalo infinito como o limite das integrais sobre os intervalos finitos.

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Tipo 1: Intervalos Infinitos
Qualquer uma das integrais impróprias na Definição 1 pode ser interpretada como uma área, desde que f seja uma função positiva. Por exemplo, no caso (a), se f (x) 0 e a integral for convergente, então definimos a área da região S = {(x, y) | x a, 0 y f (x)} na Figura 3 como Isso é apropriado porque é o limite como t da área sob o gráfico de f de a a t.

Figura 3

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Exemplo 1
Determine se a integral divergente. é convergente ou

SOLUÇÃO: De acordo com a parte (a) da Definição 1, temos O limite não existe como um número finito e, assim, a integral imprópria é divergente.
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Tipo 1: Intervalos Infinitos
Vamos comparar o resultado do Exemplo 1 com