Integrais improprias

UNIFACS – Universidade Salvador
Cálculo II
Curso: Engenharias
Texto elaborado pelos professores Adelmo R. de Jesus; Ilka R. Freire e Ma Lúcia B. Gomes

Integrais Impróprias b Quando estudamos integral definida  f(x)dx trabalhamos com uma função y = f(x) definida em um intervalo a limitado [a,b] e supomos que esta é contínua por partes, sendo que os pontos de descontinuidade são “do tipo finito”, ou seja, os limites laterais nestes pontos existem. Em outras palavras, a função y = f(x) é limitada em
[a, b ]
Por exemplo, podemos calcular a integral, onde a função é dada pelas sentenças
1
 x , se 1  x  2 y 
6
f ( x )  x - 1 , se 2  x  5
5
2 , se 5  x  7

4

3
Neste caso, basta dividir a integral em 3 outras integrais, ou seja,
2

7

2

5

7

1

1

2

5

1

 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

x

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1
-2

Vamos agora estender o conceito de integral definida para dois outros casos:
1º Caso: O intervalo de definição da função não é limitado, ou seja, é do tipo ]-∞ , b] , [a , +∞[ , ou mesmo
]-∞ , +∞ [ y 

b



a

-

-

Neste caso, teremos as integrais  f ( x ) dx ;  f ( x ) dx ;  f ( x ) dx
1

x
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15

y

2º Caso: A função f tem uma “descontinuidade infinita” em [a,b] .


x =1







 x 1-t







b

Em ambos os casos, chamamos as integral  f ( x ) dx de Integral Imprópria. a 1

y

1º Caso: Definição de integral imprópria em intervalos não limitados: t a) Se  f(x)dx existe para cada número t > a, então definimos a 1



t

a

a

lim  f(x)dx ,
 f(x)dx = t 


desde que o limite exista ( seja um número real) x b

b) Se  f(x)dx existe para cada número t < b, então definimos

3

6

9

12

15

t

b

b

-

t

 f(x)dx  t lim
 f(x)dx ,
 -

desde que o limite exista (seja um número real)


b

a

-

As integrais impróprias  f(x)dx e  f(x)dx são chamadas convergentes se os limites correspondentes existem, e divergentes se os limites não existem.