Matemática

Capítulo 8

INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
8.1 Introdução
Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:

As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em Estatística.

8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
 1 20 determinada pelo gráfico de , e o eixo dos .

Primeiramente note que a região região.

é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal

1

333

1 60

Figura 8.1: Gráfico de

,

.

)

Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região

97 @8 3 5

# '

A função integranda é descontínua em um ponto tal que

¢ ( ¡

 

 

Funções definidas em intervalos do tipo , ou ou para todo , respectivamente.

ou

¨ ¦ ¤¢ §¥¦
.

¢ ¦

'

¨ ¦ ¤¢ ©§¥£ ¡

, ou seja para todo

3 5

) 4( 3

% # &$

"  !

¡ !

334

CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

1

quando o limite existe. Neste caso:

Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivados pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições: Definição 8.1.

 ¨ 

¤

# $  & %  $ £

1   ¨

¤

# & £

 

#

2. Se

é uma função integrável em

, então:

 ¨ 

¤

  # $ ©%  £

1   ¨

¤

 ¢ ¦

#

$  © £

#

1. Se

é uma função integrável em

, então:

¨

4 



¤

 © £

7

¨ ¦ ¤¢ ©§¥£ ¡

)

É comum denotar

por:

¨ ¡ ¨ "3 !

1

)

É intuitivo que para valores de muito grandes a região limitada da região ilimitada . Isto nos induz a escrever:

¨

3

   3

¨ ©

3

©