Calculo 2

UFCG / CCT / UAME
Notas de Aula: Período 2011.2
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Turmas 1 e 3
Professor(a): Rosana M. da Silva

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Integrais Impróprias

Na definição de integral definida de uma função f , consideramos a função f continua num intervalo b f (x) dx. Em outras palavas, uma integral definida requer intevalo

fechado [a, b] e denotamos por a de integração finito e a função integrando contínua (finita) no intervalo de integração. b f (x) dx está relacionada com a área da região delimitada pelo gráfico da função f , o

A integral a b

intervalo fechado [a, b] o eixo x. Se f (x) ≥ 0, no intervalo de integração, a integral

f (x) dx é a numéricamente igual a área da região sob o gráfico de f (x), no intervalo [a, b], veja figura (a). Em outros casos, é numericamente igual a diferença entre áreas, veja figura (b).

(a)

(b)
9

Na figura (a), a área da região R é dada por
1

1
1
dx = −
2
x x 9
1

8
1
= − + 1 = u.a..
9
9 c Na figura (b), a área da região R = área de R1 + área de R2 , onde, área de R1 = b área de R2 = −

f (x) dx e a f (x) dx. c Agora, estenderemos a definicão de integral definida para os seguintes casos:
1. Funções definidas em intervalos do tipo [a, +∞), (−∞, b] ou (−∞, +∞), ou seja, para todo x ≥ a ou x ≤ b ou para todo x ∈ R, respectivamente.
2. Funções descontinuas em um ponto c contido no intervalo de integração, isto é, c ∈ [a, b].
As integrais destas funções são chamadas integrais improprias. As integrais improprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equações diferenciais ordinarias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em Estatística.

1.1

Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados

1
Problema: Calcular a área da região R determinada pelo gráfico de y = 2 , x ≥ 1 e o eixo dos x, x veja figura (a).

(a)

(b)

Podemos observar que a região R e ilimitada e não é