Integrais impróprias

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LIVRO

Integrais Impróprias
META
Apresentar os conceitos e propriedades de integrais com extremos de integrações innitos e integrais de funções com descontinuidade.

OBJETIVOS
Calcular áreas de regiões não limitadas.

PRÉ-REQUISITOS
Conceitos de funções reais, funções contínuas e o Teorema Fundamental do Cálculo.

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AULA

Integrais Impróprias

1.1 Introdução
Caros alunos, estamos iniciando o curso de Cálculo II. Neste curso, faremos uso de bastantes conceitos e resultados vistos no curso de
Cálculo I. Esta primeira aula tem por objetivo estender o Teorema
Fundamental do Cálculo (TFC) e denir as Integrais Impróprias. b No TFC, os limites de integração, a e b em

f (x)dx, são

a

números reais e f uma função contínua no intervalo [a, b]. Pode acontecer que, ao aplicarmos estes conceitos, seja preciso ou conveniente considerar os casos em que a = −∞, b = +∞, ou f seja descontínua em um ou mais pontos do intervalo. Nestas condições, é preciso ampliar conceito de integral e as técnicas de integração, de modo a incluir estes casos adicionais. Estas integrais, em que a = −∞, b = +∞ ou f é descontínua em [a, b], são chamadas Inte-

grais Impróprias. Nem sempre uma integral deste tipo representa um número real, isto é, nem sempre uma integral imprópria existe. Quando ela existe, seu valor é calculado levando-se em conta a generalização do conceito de integral denida.

1.2 Integrais Impróprias com Extremos de
Integração Innitos
Exemplo 1.2.1. Consideremos o problema de encontrar área da região limitada pela curva y = ex , pelo eixo−y e pela reta x = b > 0 como mostra a Figura 1.1 abaixo.

Se A unidades de área for a área da região, então b A=
0

2

e−x dx = −e−x

b
0

= 1 − e−b = 1 −

1
.
eb

Livro de Cálculo II

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AULA

Figura 1.1: Área
Se deixarmos b crescer sem limitações, então b lim

b→∞ 0

e−x dx = lim (1 − b→∞ 1
) = 1. eb (1.2.1)

Segue da equação (1.2.1) que