Inequações logaritmicas

------------------------------------------------- Matemática
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Frente II
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CAPÍTULO 16 – INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

1- INTRODUÇÃO

Vimos no capítulo passado como resolver inequações envolvendo expoentes. Neste capítulo, veremos como proceder em problemas de inequações envolvendo logaritmos. O raciocínio é muito parecido com o de inequações exponenciais, a única diferença é que devemos atentar a mais um detalhe: a condição de existência do logaritmo.

2 – CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Este tópico visa a relembrar algo que já vimos no capítulo 14, mas que é uma propriedade primordial dos logaritmos de que sempre devemos nos lembrar quando o virmos em alguma função/equação/inequação:

Para que exista logba, devem ser satisfeitas as três condições abaixo:

1. a > 0 (logaritmando positivo) 2. b > 0 (base do logaritmo positiva) 3. b ≠ 1 (base do logaritmo diferente de 1)

Exercício Resolvido 1

Determine para quais valores de x o número logx+1(2-x) está definido nos reais

Resolução

Basta aplicar a condição de existência. Neste caso, o logaritmando é 2-x e a base do logaritmo é x+1, então:
→ 2-x>0→x<2
→ x+1>0→x>-1
→ x+1≠1→x≠0

Assim nosso conjunto solução é:

S={x∈R / -1<x<2 e x≠0}

3 – INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Nossa meta aqui, de forma semelhante ao capítulo anterior, é resolver inequações do tipo:

logax>logay

Ou, analogamente:

logax<logay logax≥logay logax≤logay

De fato, o método de solução também é bem semelhante. Relembrando as inequações exponenciais, vimos que, dada uma inequação exponencial da forma ax>ay:

ax>ay→Se a>1, temos x>y Se a<1, temos x<y

Veja que, se a base for menor que 1, nos trocamos o lado da desigualdade

De forma semelhante, em uma inequação da forma logax>logay, temos, além das condições de existência, a seguinte regra: