Matemática

Crescimento exponencial

Na matemática, o crescimento exponencial (e/ou geométrico) ocorre quando a taxa de crescimento de uma função é sempre proporcional ao tamanho atual da função. Este crescimento é dito seguir uma lei exponencial (mas veja também no modelo de crescimento demográfico de Thomas Malthus no seu "Modelo Malthusiano", que usa a exponencial como referência: y = f(x) = x ln 2 em contrapartida a função y = f(x) = 2x).
Isso implica que para qualquer quantidade crescendo exponencialmente, quanto maior a quantidade existente, mais rápido crescerá. Mas isto também implica que a relação entre tamanho da variável dependente e sua taxa de crescimento é "governada" por uma lei estrita, do tipo mais simples: na proporção direta, também presente na função linear, a saber: y = f(x) = 2x, de mesma categoria e crescimento diferencial.
É provado portanto, com cálculos, que essa lei requer que a quantidade seja dada pela função exponencial, se nós usarmos a escala correta de tempo. Isso explica seu nome.
Equações e Inequações exponenciais
Equações exponenciais
Uma equação é chamada exponencial quando a incógnita a ser determinada comparece como expoente.
Para resolver uma equação exponencial, você deve reduzir ambos os membros da igualdade a uma mesma base. Então, basta igualar os expoentes para recair numa equação comum.
Há equações exponenciais em que não é possível reduzir de imediato os dois membros à mesma base. Para resolvê-las, freqüentemente é conveniente utilizar uma variável auxiliar.
Aplicações
01. Resolva a equação 5x = 125.
Solução:
5x = 125→ 5x = 5 3 →x = 3
02. Resolva a equação 32x + 4.3x + 3 = 0.
Solução:
A expressão dada pode ser escrita na forma:
(3x)2 - 4.3x + 3 = 0
Fazendo 3x = y, temos: y2 – 4y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3
Como 3x= y, então 3x= 1 x = 0 ou 3x = 3 x = 1
Portanto, S = {0,1}.
Inequações exponenciais
Dada uma desigualdade de potências, sendo an > am:
1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas