Geometria Analitica

GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica teve como principal idealizador o francês René Descartes (1596 – 1650).
Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, faz-se corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistema são perpendiculares entre si, em um ponto O (origem), essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano).

y

2º quadrante

1º quadrante

x
O
3º quadrante

4º quadrante

1º quadrante: x>0 e y>0
2º quadrante: x<0 e y>0
3º quadrante: x<0 e y<0
4º quadrante: x>0 e y<0
Distância de dois pontos

Dados os pontos A = (xA, yA) e B = (xB, yB), calcula-se a distância entre eles, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC,

seja d a distância entre os pontos A e B

d2 = (AC)2 + (BC)2 d2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 B

( x B − x A )2 + ( y B − y A ) 2

d=

Ponto médio

Dados os pontos A = (xA, yA), B = (xB, y B) e P que divide AB ao meio, temos:

 xA + xB y A + yB 
,

2
2



P= 

Condição de alinhamento de três pontos

Se três pontos A = (xA, yA), B = (xB , yB) e C = (xC , yC ) estão alinhados, então: xA yA 1

xB xC yB 1 = 0 yC 1

Equações de uma reta
I)

Equação geral é obtida a partir da condição de alinhamento de três pontos. A toda reta r do plano cartesiano está associada ao menos uma equação da forma ax + by + c = 0 onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0 e (x,y) representa um ponto genérico da reta r.

II)

Equações paramétricas são equações da forma x = f(t) e y = f(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro “t”.

III)

Equação reduzida é obtida isolando-se o y na equação geral ax + by + c = 0, onde obtemos y = −

a c a c x − . Fazendo-se − = m e − = q , temos y = mx + q. b b b b

m é chamado de coeficiente angular da reta r, ( fornece a inclinação da reta em relação ao



eixo Ox, m = tg θ  θ ≠



π

2

q é chamado coeficiente linear ( é a ordenada do ponto em que a reta intercepta Oy)

Sendo P1 = (x1,