Geometria Analitica

Lista de exerc´ ıcios de Geometria Anal´ ıtica - semana 3
1. No plano cartesiano, dados os vetores u = (3, −1) e v = (−1, 2), determine o vetor w tal que
1
(a) 4(u − v) + w = 2u − w
3
(b) 3w − (2v − u) = 2(4w − 3u)
2. Sejam A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2 ) pontos do plano cartesiano. Denotando por M o ponto m´dio do segmento AB, determine as suas coordenadas, em termos de x1 , x2 , y1 e −→

−→

e y2 . (DICA: verifique qual ´ a rela¸˜o entre os vetores AM e M B) e ca
3. Considere os vetores v1 = (1, −2, 1), v2 = (2, 0, −4) e v = (−4, −4, 14). Determine n´meros reais α e β tais que v = αv1 + βv2 . u −→

4. Considere os pontos A = (−1, 2, 3) e B = (1, −1, m). Se | AB | = 7, determine os poss´ ıveis valores para m.
5. Nos itens abaixo, verifique se os pontos dados est˜o sobre uma mesma reta. a (a) A = (−1, −5, 0), B = (2, 1, 3), C = (−2, −7, −1)
(b) A = (2, 1, −1), B = (3, −1, 0), C = (1, 0, 4)
6. Dados os vetores u = (1, a, −2a − 1), v = (a, a − 1, 1) e w = (a, −1, 1), determine o valor de a de forma que u, v = u + v, w .
7. Usando a rela¸˜o entre o produto escalar de um vetor com ele pr´prio e o m´dulo desse ca o o vetor, mostre que:
(a) |u + v|2 = |u|2 + 2 u, v + |v|2
(b) |u − v|2 = |u|2 − 2 u, v + |v|2
(c) u + v, u − v = |u|2 − |v|2
8. Usando os itens (a) e (b) da quest˜o anterior, conclua que, em um paralelogramo, as a somas dos quadrados das diagonais ´ igual a soma dos quadrados de seus lados. e 9. Considere o vetor u = (1, −1, 2). Determine o vetor v colinear com u e tal que u, v =
−18.