funções

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES REAIS
Definição: Sejam A, B ⊂ R. Uma função f definida em A e com valores em B é uma regra que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B.
As notações usuais são f : A → B; y = f(x)

ou

f:A→B x → f(x).

O número x é chamado variável independente da função e y variável dependente da função.
1. O conjunto de todos os x ∈ R que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função f e é denotado por Dom(f).
2. O conjunto de todos os y ∈ R tais que y = f(x), onde x ∈ Dom(f) é chamado imagem da função f e é denotado por Im(f).
É claro que Dom(f) ⊂ R, Im(f) ⊂ R, e que Dom(f) é o conjunto dos valores da variável independente para os quais f é definida; Im(f) é o conjunto dos valores da variável dependente calculados a partir dos elementos do domínio. Gráficos de Funções

A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no plano coordenado xy.
Definição: O gráfico de uma função y = f(x) é o seguinte subconjunto do plano
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ Dom(f)}
Geometricamente G(f) é, em geral, uma curva no plano.

Exemplos:
[1] Esboce o gráfico da função f(x) = x2. Note que Dom(f) = R e Im(f) = [0,∞).
[2] Esboce o gráfico da função f(x) = x3. Note que Dom(f) = Im(f) = R.

Composta de Funções
Definição: Sejam f e g funções tais que Im(f) ⊂ Dom(g). A composta das funções g e f é denotada por g ◦ f e definida por:
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Observe que a definição faz sentido, pois f(x) ∈ Dom(g). Por outro lado:

Dom(g ◦ f) = {x ∈ Dom(f); f(x) ∈ Dom(g)}.

Definição: A função g é dita função inversa de f se
1. Im(g) = Dom(f) e Im(f) = Dom(g).
2. Para todo x ∈ Dom(g), (f ◦ g)(x) = x e para todo x ∈ Dom(f), (g ◦ f)(x) = x.

Em tal caso f é dita invertível.

Definição: Seja f uma função invertível, denotemos por f−1 sua inversa. Dizer que f−1 é a função inversa de f, é equivalente dizer que f ◦ f−1 e f−1 ◦ f são a função identidade.

Se f é invertível