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Universidade Lusíada de Lisboa Licenciatura em Gestão de Empresa Prova de Frequência de Estatística – 26 de Junho de 2009

Problema nº 1 A um concurso apresentaram-se 3500 candidatos. A pontuação obtida pelos candidatos é uma variável aleatória normal de média 55 e variância 25. i) Havendo apenas 700 vagas, qual a pontuação do último candidato admitido? (1,5 val) X v.a. pontuação obtida pelo candidato.

X ∩ N ( µ = 55, σ2 = 25 → σ = Seja a a nota mínima de acesso.

25 = 5) )

700 ⇒ P( X < a ) = 1 − 0,2 ⇒ P( X < a ) = 0,8 3500 a − 55  a − 55  P Z < = 0,84 ⇒ a = 0,84 * 5 + 55 = 59,2  = P(Z < 0,84 ) ⇒ 5  5  P( X ≥ a ) = ii) Quantos candidatos obtiveram pontuação superior a 65? (1,5 val) X ∩ N ( µ = 55, σ2 = 25 → σ =

25 = 5) )

65 − µ  65 − 55    P( X > 65) = 1 − P( X ≤ 65) = 1 − P Z ≤  = 1 − P Z ≤  = 1 − P(Z ≤ 2,00 ) = σ  5    = 1 − 0,9772 = 0,0228
Quantos ? 3500*0,0288 = 79,8 = 80 candidatos

iii) Indique as pontuações que limitam o grupo médio constituído por 50% dos candidatos. Seja a a nota mais baixa do grupo e b a nota mais alta do grupo

1)

a − 55  a − 55  P ( X ≤ a ) = 0,25 ⇒ P Z ≤ = −0,67 ⇒ a = −0,67 * 5 + 55 = 51,65  = P ( Z ≤ −0,67) ⇒ 5  5 

1

2)

b − 55  b − 55  P ( X ≤ b) = 0,75 ⇒ P Z ≤ = 0,67 ⇒ b = 0,67 * 5 + 55 = 58,35  = P ( Z ≤ 0,67) ⇒ 5  5 

Problema nº 2 O tempo necessário para um aluno da turma A de uma dada disciplina da Universidade Lusíada resolver a Frequência é uma variável aleatória de média 170 minutos e desvio padrão 40 minutos. i) Escolheram-se ao acaso 50 alunos da turma A que se submeteram à Frequência. Qual a probabilidade do tempo médio de resolução da Frequência destes 50 alunos ser superior a 180 minutos? (2 val) X v.a tempo de resolução da prova com µ = 170 e σ = 40 v.a tempo médio de resolução da prova

X X =

X 1 + X 2 + ... + X 50 50

é a média de v.a. independentes e todas com a mesma distribuição, logo pelo

Teorema Limite Central vem:

 X + X 2 + ... + X