Espaço vetorial

CURSO: ENGENHARIA AGRONÔMICA CURSO DE FÉRIAS: 2014.1 DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: GERALDO LUIZ LIMA ALUNO(A):____________________________________________________DATA: 17/01/2014

3ª ATIVIDADE PARCIAL

1) Verifique quais conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial:

a) ℝ2, (a, b) + (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb) b) ℝ2 , (x1 , y1) + (x2 , y2) = (x1 + x2 , y1 + y2) e α(x, y) = (α2 x, α2y)

c) A=com as operações usuais.

2) Verificar quais subconjuntos de ℝ2 são subespaços vetoriais:
a) S = {(x, y) /x + 3y = 0}
b) S = {(x, -3x, 4x), x ∊ ℝ}
c) S =
3) Considere o espaço vetorial real V = {(x, y) /x, y x ∊ ℝ}, com as operações:
(x1 , y1) ⊕ (x2 , y2) = (x1 + x2 +5, y1 + y2) e α⊙ (x, y) = (α x + 5(α-1), αy) α∊ℝ

a) Determine o elemento neutro da operação adição.
b) Determine o elemento simétrico aditivo do elemento (x, y) ∊ V.
c) Verifique se W = {(x, y) ∊ V / x = - 5} é um subespaço de V.

4) Sejam os vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) ℝ3.
a) Escrever o vetor w=(7, -11, 2) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor (-8, 14, k) é combinação linear de u e v?
c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b,c) seja uma combinação linear de u e v.

5) Encontre um conjunto de geradores para:
a) V = {(x, y, z) ∊ℝ3 / x – 2y + 3z = 0}
b) V = {(x, y, z, t) ∊ℝ4 / x – y + z + t = 0 e -x + 2y + z – t = 0}

6) Encontre a equação linear homogênea cujo subespaço é dado por:
a) W = [(2, 1, 1), (1, 1, 2)]
b) W = [(1, 3, 2), (2, 3, 1)]

7) Considere os seguintes subespaços:
U = {(x, y, z, t) ∊ℝ4 / x + y = 0 e z – t = 0}
W = {(x, y, z, t) ∊ℝ4 / x – y - z + t = 0}

a) Determine um sistema de geradores para o subespaço U∩W.
b) Determine um sistema de geradores para o subespaço U + W.
c) O subespaço U + W é uma soma direta? Justifique sua resposta.