Espaços Vetoriais

Resumo de Álgebra Linear I unidade
I. Vetores:
É comum pensarmos em vetores como „setas‟ no espaço
, mas, na verdade, vetor é um elemento de um conjunto vetorial, podendo ser também polinômio, matriz, etc.
Falamos em entradas dos vetores como cada valor que usamos para caracterizá-lo, por exemplo: Sendo o vetor
, os valores são as entradas desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor
, os coeficientes são as entradas desse vetor. Outro exemplo: Sendo o vetor

, os valores

são as entradas

desse vetor.
O Vetor Nulo é o elemento do conjunto onde todas as entradas são nulas.
Quando falamos na forma mais geral de um vetor, representamos as entradas dos vetores como letras, ou seja, sem especificar nenhum vetor. Exemplo, a forma mais geral de um vetor de é . A forma mais geral de um vetor de
(espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3) é
. A forma mais geral de um vetor de (espaço vetorial das matrizes 2x3) é

.

II. Espaços Vetoriais:
A definição de Espaço Vetorial é: entidade formada pelo conjunto dos números reais, um conjunto de vetores e uma operação entre esses conjuntos.
De uma forma mais simples, Espaço Vetorial é uma “coleção” (conjunto) de vetores que obedece a 8 axiomas, sendo 4 aditivos e 4 multiplicativos:
Axiomas:
Sendo V um conjunto de vetores e o conjunto dos números reais, dizemos que V é um
Espaço Vetorial se os 8 axiomas abaixo são obedecidos:
Aditivos:
1)
, tem-se que
(Comutatividade);
2) Existe um elemento
, chamado de Vetor Nulo, tal que
(Existência de um elemento neutro);
3)
, existe um elemento tal que
. Temos daí que de um elemento oposto);
4)
, tem-se
(Associatividade).

tem-se
(Existência

Multiplicativos:
1)
2)
3)
4)

, tem-se que
, onde e , tem-se que e , tem-se que e , tem-se que

é o unitário de

;
;
;
.

Obs.: Na prova não será pedido a prova de que um conjunto é um Espaço Vetorial. Ao invés disso, pede-se para verificar se um conjunto é um