Espaço vetorial

Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir.
Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a ( ∈ N) formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes × e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.

Definição
Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
1. Um corpo , ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares. Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
2. Um conjunto dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de em . Os elementos de V serão chamados de vetores.
3. Uma operação . de em .
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+) e produto (.) para representar, em cada caso, duas funções distintas: para elementos de não é o mesmo que para elementos de , assim como para elementos de não é o mesmo que quando ∈ e ∈ . Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar para as operações de e para as operações de em e de em . Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla ordenada (a generalização de par ordenado, mas com 6 elementos) .
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