Espaço Vetorial

Um espaço vetorial é um conjunto onde seus elementos são vetores.
Dizemos que um conjunto munido de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial se os axiomas abaixo forem satisfeitos:
Mostre que V=RxR*,(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1y2) e (x,y)=(x,) é um espaço vetorial.
Para isso devemos mostrar as seguintes propriedades de espaço vetorial:
i) Comutatividade: x+y=y+x
Seja x=(x1,y1) e y=(x2,y2), com isso temos que:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1y2) , pela propriedade comutativa da adição e multiplicação dos números reais, isto implica em:
(x2+x1, y2y1)=(x2,y2)+(x1,y1) Finalizando está primeira parte. ii) Associatividade x+(y+z)=(x+y)+z, para todo x, y e z V.
Tomemos x=(x1,y1), y=(x2,y2) e z=(x3,y3), temos que x+(y+z) que pela definição de soma deste espaço vetorial é:
(x1,y1)+( (x2,y2)+(x3,y3))= (x1,y1)+((x2+x3),(y2y3))=
(x1+(x2+x3),y1(y2y3))=
((x1+x2)+x3,(y1y2)y3)=
((x1+x2),(y1y2))+(x3,y3)=
((x1,y1)+(x2,y2))+(x3,y3)=(x+y)+z. Os passos que foram feitos utilizaram a definição de doma deste espaço vetorial além da propriedade associativa dos números reais. iii) existência do elemento neutro da adição 0+u=u
Tomemos o vetor 0=(a,b) e u=(x,y), temos que 0+u=u, ou seja:
(a,b)+(x,y)=(x,y)
(a+x,by)=(x,y) isto acarreta em: a+x=x e by=y a-x+x=x-x e (by)/y=y/y a=0 e b=1, com isso concluímos que o vetor nulo desse espaço vetorial é o elemento (a,b)=(0,1). iv) elemento oposto da adição, para todo u V, existe um v tal que u+v=0
Seja u=(x,y), v=(a,b) e como já temos o elemento neutro da adição 0=(0,1), temos que mostrar que a seguinte situação ocorre:
(x,y)+(a,b)=(0,1)
(x+a,yb)=(0,1) x+a=0 e yb=1 a=-x e b=1/y
Com isto demos que o elemento oposto da adição neste espaço vetorial é(a,b)=(-x,).
v) para quaisquer u V , R.
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Os passos acima desfrutaram da definição de multiplicação por escalar além da comutatividade e associatividade dos números reais. vi) Seja u=(x,y) temos que mostrar que a seguinte situação ocorre:

Os passos dessa