espaço vetorial

Um dos conceitos básicos em álgebra linear é o espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamente com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.1

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau menor ou igual a n (n \in \mathbb{N}) formam um espaço vetorial,2 por exemplo, assim como grupos de matrizes m \times n3 e o espaço de todas as funções de um conjunto no conjunto R dos números reais.Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:

Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. cujos elementos serão chamados de escalares.4 1 Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
Um conjunto V dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de V\times V em V. Os elementos de V serão chamados de vetores.4 1
Uma operação \cdot de K \times V em V.
Observação: na definição acima e nas propriedades abaixo, são usados os símbolos de soma (+) e produto (\cdot) para representar, em cada caso, duas funções distintas: a+b para elementos de K não é o mesmo que a+b para elementos de V, assim como a \cdot b para elementos de K não é o mesmo que a \cdot b quando a ∈ K e b ∈ V. Caso possa haver confusão, recomenda-se o uso de símbolos diferentes para essas operações, por exemplo usar (+, \times) para as operações de K e (\oplus,\otimes) para as operações de V\times V em V e de K\times V em V. Neste caso, costuma-se dizer que o espaço vetorial é a sêxtupla