Espaço Vetorial de Dimensão Finita

ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA
Definição
Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e multiplicação por escalar.
⋅ : R ×V → V
+ : V ×V → V
( v, u ) a v + u
( k , v) a k ⋅ v

V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas:
EV1. (Associativa) Para quaisquer v, u, w ∈V , ( v + u ) + w = v + (u + w) .
EV2. (Comutativa) Para todo v, u ∈V , v + u = u + v .
EV3. (Elemento Neutro) Existe e ∈V tal que para todo v ∈V , e + v = v + e = v .
Notação: e = 0V
EV4. (Elemento Simétrico) Para todo v ∈V , existe v ' ∈V tal que v + v ' = v '+ v = 0V .
Notação: v ' = −v
Assim, v + ( −u ) = v − u
EV5. Para quaisquer k1 , k 2 ∈ R e para todo v ∈V , k1 ⋅ ( k 2 ⋅ v ) = ( k 1 k 2 ) ⋅ v .
EV6. Para quaisquer k1 , k 2 ∈ R e para todo v ∈V , ( k1 + k 2 ) ⋅ v = ( k1 ⋅ v ) + ( k 2 ⋅ v ) .
EV7. Para todo k ∈ R e para quaisquer v, u ∈V , k ⋅ ( v + u ) = ( k ⋅ v ) + ( k ⋅ u ) .
EV8. Para todo v ∈V , 1 ⋅ v = v .

Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares.
Exemplos :
1) R2 com as operações:
( x, y ) + ( z, t ) = ( x + z, y + t ) k ⋅ ( x, y ) = ( kx, ky )
É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento neutro da adição 0V é o par ordenado (0,0) .
2) Rn com as operações:
( x1 , x 2 ,..., x n ) + ( y1 , y 2 ,..., y n ) = ( x1 + y1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n ) k ⋅ ( x1 , x 2 ,..., x n ) = ( kx1 , kx 2 ,..., kx n )
3) O conjunto das matrizes reais de ordem m × n , com as operações usuais é um espaço vetorial, tal que o elemento neutro da adição é a matriz nula.

4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as operações abaixo: p( x ) + q( x ) = ( a n + bn ) x n + ... + ( a1 + b1 ) x + ( a 0 + b0 )

k ⋅ p( x ) = ka n x n + ... + ka1 x + ka