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Algumas Definições (Álgebra Linear)

1. Espaço Vetorial:
Definição 1. Dizemos que um conjunto V = ∅ é um espaço vetorial sobre R (ou C) quando, e somente quando: (i) Existe uma adição (u, v) → u + v ∈ V , com as seguintes propriedadaes:
(a) u + v = v + u para quaisquer u, v ∈ V (propriedade comutativa em relação à adição);
(b) u + (v + w) = (u + v) + w para quaisquer u, v, w ∈ V (propriedade associativa em relação à adição); (c) Existe em V um elemento neutro para essa adição o qual será simbolizado genericamente por o, ou seja, existe o ∈ V tal que u + o = u para qualquer u ∈ V ;
(d) Para cada elemento u ∈ V existe o oposto, denotado por (−u), isto é, para todo u ∈ V , existe
(−u) ∈ V tal que u + (−u) = o.
(ii) Está definida uma multiplicação de R × V (ou C × V ) em V , o que significa que a cada par (α, u) de R × V (ou C × V ) está associado um único elemento de V , que será indicado por αu, e para essa multiplicação tem-se as seguintes propriedadaes:
(e) α(βu) = (αβ)u para qualquer u ∈ V e para quaisquer α, β ∈ R (ou C) (propriedade associativa em relação à multiplicação);
(f ) (α + β)u = αu + βu para qualquer u ∈ V e para quaisquer α, β ∈ R (ou C) (propriedade distributiva em relação à adição);
(g) α(u + v) = αu + αv para quaisquer u, v ∈ V e para qualquer α ∈ R (ou C) (propriedade distributiva em relação à multiplicação por escalar);
(h) 1u = u para qualquer u ∈ V (elemento identidade).
Notação: O espaço vetorial definido anteriormente será denotado por (V, +, ·).
Observações: Prova-se que o elemento neutro da adição, o, é único e que o elemento oposto (−u) é único. Exemplo: Considere V = Mm×n (R) (ou V = Mm×n (C)) o conjunto formado pelas matrizes reais (ou complexas) de ordem m × n. Define-se a soma entre duas matrizes A = [aij ] ∈ V e B = [bij ] ∈ V , de ordem m × n, como sendo a matriz C ∈ V , de ordem m × n, definida por [cij ] = [aij + bij ]. Além disso, dada uma matriz A = [aij ] ∈ V , de ordem m × n, e dado um número real (ou