Qualquer coisa

BASES E DIMENSÕES

Dependência e independência linear
Um conjunto de vetores 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 n vetores em um espaço vetorial V é chamado linearmente independente (L.I) se a equação vetorial
𝑎1 𝑢1 + 𝑎2 𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑢𝑛 = 𝑂 admite apenas a solução trivial, 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0.
Caso contrário, o conjunto é chamado linearmente dependente (L.D).
Teorema
Dois vetores em um espaço vetorial são LD se, e somente se um deles é múltiplo escalar do outro
Exemplos

Interpretação geométrica da
3
dependência linear em ℝ
Teorema
Um conjunto de 𝑛 vetores em ℝ𝑚 é sempre LD se 𝑛 > 𝑚
Teorema
Qualquer conjunto de n vetores LI em ℝ𝑛 gera a ℝ𝑛
Base
Um conjunto finito de vetores 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 é uma base para um espaço vetorial V se
1. 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 é LI
2. 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 gera a V
Todo conjunto de n vetores LI em ℝ𝑛 é uma base em ℝ𝑛

Exemplos
Bases canônicas
Teorema
Seja 𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 } uma base para um espaço vetorial V. Então, para cada
𝑢 ∈ 𝑉, existe um único conjunto de escalares 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 tal que
𝑢 = 𝑎1 𝑢1 + 𝑎2 𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑢𝑛
Definição
Seja 𝑢 ∈ 𝑉 e 𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 } uma base para um espaço vetorial V. Se
𝑢 = 𝑎1 𝑢1 + 𝑎2 𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑢𝑛 então os escalares 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 são chamados coordenadas de 𝑢 na base 𝐵 e escrevemos 𝑎1
𝑎2
Exemplos
.
𝑢𝐵= .
.
𝑎𝑛

Teorema
Seja 𝑆 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑝 } um subconjunto de ℝ𝑛 . Se 𝑝 > 𝑛 então 𝑆 é LD.

Teorema
Se um espaço vetorial V tem base 𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 } então todo subconjunto de V com mais de n vetores é LD.

Teorema
Se um espaço vetorial V tem uma base com n vetores, então toda base de V tem exatamente n vetores.

Dimensão
Se V tem uma base finita, então V é chamado espaço vetorial de dimensão finita e chamamos de dimensão de V , denotada dim V , o número de vetores de uma base de V. Caso V não tenha uma base finita, dizemos que
V é um espaço vetorial