Equações Polinomiais

Aula: Equações polinomiais
Turma 1 e 2
Data: 05/09/2012 - 12/09/2012
Tópicos
• Equações polinomiais.
• Teorema fundamental da álgebra.
• Raízes reais e complexas.
• Fatoração e multiplicação de raízes.
• Relações de Girard.

Equações polinomiais
Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma: P (x) = 0, onde
P (x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P (x). O grau do polinômio, será também o grau da equação. Exemplos: x4 + 9x2 –10x + 3

= 0

x10 + 6x2 + 9

= 0

Números Complexos
´
Relembremos que o corpo dos números complexos é´ o conjunto C = {(x, y) : x, y ǫ ℜ}, com as
˜ o e multiplicaçã
˜ o: seguintes operaçõ˜ es de adiçã
˜ o z + w = (x + a, y + b) e z · w = (xa−yb, xb + ya).
Se z = (x, y) e w = (a, b) pertencem a C, entã
´
´
˜ o chamados de números
(Os elementos de C sã complexos. Denotamos o número complexo ´
(0, 0) simplesmente por 0 e o número complexo (1, 0) simplesmente por 1. Para cada
−y
x z = (x, y)ǫC, definimos −z = (−x, −y) e z −1 = x2 +y
. Os números complexos podem
2 , x2 +y 2 ser escrito da forma (a, b) ou a + bi.
• Números Naturais: N
N = {0, 1, 2, 3...}
• Números Inteiros: Z
Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, ...}
• Números Racionais : Q
Q = {..., −5.2, ... − 4.1, .... − 1, ..., 0, ..., 2, 65, ...}
• Números Irracionais: I
Números decimais que não podem ser escritos na forma de fração, ex: 2.33(3)
• Números Reais: ℜ = Q + Z + I + N

1

A equação quadrática x2 + 1 = 0 não tinha solução dentre o sistema de números reais porque não há um número real cujo quadrado seja −1. Como solução ao problema, foi introduzido um √ novo tipo de número, o conjunto denominado números complexos. No século
16, o símbolo −1 foi introduzido para dar solução à equação. Este símbolo, depois denominado i, foi considerado como um número fictício ou imaginário que pode ser manipulado algebricamente como um número real, exceto porque seu quadrado é −1.
Os números complexos são dados em pares