Equações Diferenciais Ordinárias

Cap 4.1: EDOs Lineares de Ordem Mais
Alta: Teoria Geral
Uma EDO de n-ésima ordem tem a forma geral: dny d n -1 y dy P0 (t ) n + P (t ) n -1 + L + Pn -1 (t ) + Pn (t ) y = G (t )
1
dt dt dt

Assumimos que P0, , Pn, e G sao funções contínuas reais sobre algum intervalo I = (a, b ), e que P0 é não-nula em I.
Dividindo por P0, a EDO se torna dny d n -1 y dy L[ y ] = n + p1 (t ) n -1 + L + pn -1 (t ) + pn (t ) y = g (t ) dt dt dt Para uma EDO de n-ésima ordem, há tipicamente n condições iniciais:
(
¢ y (t0 ) = y0 , y¢(t 0 ) = y0 , K , y ( n -1) (t0 ) = y0n -1)

Teorema 4.1.1
Considere o problema de valor inicial de n-ésima ordem dny d n -1 y dy + p1 (t ) n -1 + L + pn -1 (t ) + pn (t ) y = g (t ) dt n dt dt
(
¢ y (t0 ) = y0 , y¢(t0 ) = y0 , K , y ( n -1) (t0 ) = y0n -1)

Se as funções p1, , pn, e g são contínuas sobre um intervalo aberto I, então existe exatamente uma solução y = f(t) que satisfaz o problema de valor inicial. Essa solução existe em todo intervalo I.

Exemplo 1
Determine um intervalo no qual a solução certamente existe.

t 2 y ( 4 ) + ty ( 3) + 5 y = sin t

Equações Homogêneas
Como no caso de 2a ordem, iniciamos com uma EDO homogênea: dny d n -1 y dy L[ y ] = n + p1 (t ) n -1 + L + pn -1 (t ) + pn (t ) y = 0 dt dt dt Se y1, , yn são soluções da EDO, então sua combinação linear também e solução da EDO y (t ) = c1 y1 (t ) + c2 y2 (t ) + L + cn y n (t )

Cada solução pode ser expressa nessa forma, com coeficientes determinados pelas condições iniciais, se e somente se pudermos resolver:

c1 y1 (t0 ) + L + cn yn (t0 ) = y0
¢
¢
¢
c1 y1 (t0 ) + L + cn yn (t0 ) = y0
M
(
(
c1 y1( n -1) (t0 ) + L + cn ynn -1) (t0 ) = y0n -1)

Equações Homogêneas & Wronskiano
O sistema de equações do slide anterior tem uma solução única se e somente se seu determinante, ou Wronskiano, for diferente de zero em t0:
W ( y1 , y2 ,K , yn )(t 0 ) =

y1 (t0 )
¢
y1 (t0 )

y2 (t0 ) y¢ (t0 )