Equações diferenciais Ordinárias

5 Aplicações de equações diferenciais ordinárias
5.1 Decaimento Radioativo
Fatos experimentais mostram que materiais radioativos desintegram a uma taxa proporcional à quantidade presente do material.
Se Q = Q(t) é a quantidade presente de um certo material radioativo no instante t, então a taxa de variação de Q(t) com respeito ao tempo t, aqui denotada por dQ dt , é dada por: dQ dt
= k Q(t) onde k é uma constante negativa bem definida do ponto de vista físico.
Para o Carbono 14 a constante é k = −1, 244 E-4 e para o caso do Rádio a constante é k = −1, 4 E-11.
Normalmente consideramos Q(0) = Q0 a quantidade inicial do material radioativo considerado. Quando não conhecemos o material radioativo, devemos determinar o valor da constante k, o que pode ser feito através da característica de “meia-vida” do material.
5.1 Decaimento Radioativo 47
A “meia-vida” é o tempo necessário para desintegrar a metade do material.
Portanto, se nós conhecemos a meia-vida do material, podemos obter a constante k e vice-versa. Em livros de Química podemos obter as
“meias-vidas” de vários materiais radioativos.
Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 está na faixa entre 5538 anos e
5598 anos, numa média de 5568 anos com um erro para mais ou para menos de 30 anos. O Carbono-14 é uma importante ferramenta em Pesquisa
Arqueológica conhecida como teste do radiocarbono.
Problema: Um isótopo radioativo tem uma “meia-vida” de 16 dias. Você deseja ter 30 g no final de 30 dias. Com quanto radioisótopo você deve começar? Solução: Desde que a “meia-vida” está dada em dias, nós mediremos o tempo em dias. Seja Q = Q(t) a quantidade presente no instante t e Q(0) = Q0 a quantidade inicial. Sabemos que r é uma constante e usaremos a “meia-vida” 16 dias para obter a constante k.
Como
Q(t) = Q0 ekt então, para t = 16 teremos Q(16) = 1
2Q0, logo
1
2
Q0 = Q0 e16k assim e16k =
1
2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os membros da igualdade, obtemos: k = − ln 2