Equacoes diferenciais ordinarias

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem
Problemas de Valores de Fronteira (PVF)
Definição
Seja a E.D.O. de 2ª ordem:
F ( x , y , y' , y" ) = 0

(1)

cuja solução é dada por y = y(x) num intervalo [a, b]. O chamado problema de valor de fronteira (PVF) é definido quando temos que encontrar a solução da E.D.O. de 2ª ordem (1) que satisfaça as condições de contorno ou de fronteira:

 y (a ) = y a

 y (b ) = yb

(2)

Embora o PVF seja descrito por uma E.D.O., ele difere do Problema de Valor Inicial
(PVI) pelo fato de descrever a solução no extremo superior do intervalo de integração [a, b]; isto faz com que os métodos numéricos descritos para solução de PVI não possam ser utilizados na solução de PVF.
Um exemplo da diferença entre o PVI e o PVF é o problema de cálculo de uma viga, mostrado na figura 1. Nos dois problemas, a equação cujo cálculo fornece a deflexão y(x) é descrita pela equação diferencial de 2ª ordem:

y" =

d2y dx 2

=

[

]

3/ 2
M ( x)
1 + ( y' )2
EI

(3)

na qual M(x) é o momento de flexão e EI o produto do módulo de Young pelo momento de inércia da viga.
W

y
0

y
0

W

x

EI x L

EI

L

(a)
(b)
Fig. 1. (a) Viga engastada com extremidade livre em x = L; (b) viga simplesmente apoiada em x = 0 e em x = L.
No problema da viga engastada, as condições iniciais são descritas pelas equações: y(0) = 0 e y’(0) = 0, ou seja, as condições são descritas na extremidade engastada na qual é conhecida, a deflexão e a sua derivada; a partir destas condições iniciais, a solução para deflexão y nos outros pontos da viga até x = L pode ser calculada por métodos de RungeKutta, por exemplo. No problema da viga simplesmente apoiada, as condições de contorno são descritas nas fronteiras do problema, isto é, y(0) = 0 e y(L) = 0. Desta forma, sendo

1

conhecida a solução da equação diferencial (3) em x = L, impede que o mesmo método numérico aplicado ao problema anterior possa