eng.civil

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL
Departamento de Estruturas

EC 501 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II

EXERCÍCIOS DE FLEXÃO GERAL

PROF DR. NILSON TADEU MASCIA
MONITOR:RAQUEL TAIRA
REVISÃO: DANIELA DE ANDRADE SANTOS

JULHO 2005

FLEXÃO GERAL
Momentos de segunda ordem de figuras planas: são características geométricas que deverão ser determinadas para o estudo da Flexão Geral em seções não simétricas.
Por definição temos que:
I y = z 2 dA → momento de inércia (ou de segunda ordem) em relação ao eixo z.
A

I z = y 2 dA → momento de inércia (ou de segunda ordem) em relação ao eixo y.
A

I yz = y.z.dA → momento centrífugo em relação a y e z ou produto de inércia.
A

Obs.: Iy e Iz sempre são positivos.
Iyz pode ser positivo, negativo ou nulo.

Translação de eixos: y’= c + y z’ = b + z
I z'= I z + c 2 A

I y '= I y + b 2 A
I y ''= I yz + bc A z Obs: b e c são coordenadas, possuem sinal
0

z' dA z

CG

y' y Figura 1: Translação de eixos

2

Rotação de eixos:
Transformação de coordenadas:

u cosα = v − sen α
Com : M =

y sen α
×
z cos α

cosα
− sen α

sen α cos α

u = y × cos α + z × sen α v = − y × sen α + z × cos α
Onde: M: matriz de transformação de coordenadas α: ângulo formado entre o eixo y e o plano principal de inércia u

Figura 2: Rotação de eixos

I u = I zsen 2α − 2 × I yzsenα cos α + I y cos 2 α
I v = I ysen 2α − 2 × I yzsenα cos α + I z cos 2 α
I uv = (I y − I z ) × senα × cos α + I yz (cos 2 α − sen 2α)
Escrevendo com arcos duplos:

Iu =
Iv =
I uv =

Iy + Iz
2
Iy + Iz
2
Iy − Iz
2

+
−

Iy − Iz
2
Iy − Iz
2

cos 2α − I yz sen 2α cos 2α + I yz sen 2α

sen 2α + I yz cos 2α

Momentos e planos principais de inércia:
I1 =
I2 =

Iy + Iz
2

Iy − Iz

+

Iy + Iz
2

2

+ I yz
+ I yz

2
Iy − Iz

−

2

2

2

2

I1: momento de inércia máximo
I2: momento de inércia mínimo
2I yz tg 2α =
Iz −