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Notas de aulas – Geometria Analítica e Álgebra Linear 1

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR (909-ST1 - C)
1º semestre de 2013

LYI março/2013

Notas de aulas – Geometria Analítica e Álgebra Linear 2

SISTEMAS LINEARES E MATRIZES (Revisão)

1.1. Sistemas Lineares
Definição: A equação variáveis e incógnitas α1 x 1 + α2 x 2 + ... + αn x n = β , n ≥ 1 , sendo xi ∈ ℝ
ℝ,

α1 , α 2 , ... , α n , β ∈ ℝ , é chamada de equação linear sobre x1 , x 2 , ... , x n .

nas

Uma solução desta equação é uma n-upla de números reais α1 b1 + α 2 b2 + ... + αn bn = β .

(b1 , b2 , ..., bn ) tal que

Definição: Um sistema linear S de m equações e n incógnitas é um conjunto de m equações lineares, cada uma com n incógnitas
(m , n≥1) , consideradas

simultaneamente e descrito por

S:

{

α11 x1 + α 12 x 2 + ... + α 1n x n = β1

α 21 x 1 + α 22 x 2 + ... + α 2n xn = β2 . .................. α m1 x 1 + αm2 x 2 + ... + α mn x n = βm

Uma solução do sistema S é um n-upla equações do sistema. No caso em que

(b1 , b2 , ... , bn ) satisfazendo cada uma das m

β1 = β2 = ... = βm = 0 , dizemos que o sistema S é homogêneo.

Exemplo: O sistema linear S1 : 2 x + 4 x − 3 x = 1 1 2 3 3 x1 + 6 x2 − 5 x3 = 0 é a única solução de S1 . Já o sistema
(1, 2, 3)

{

1 x1 + 1 x2 + 2 x3 = 9

é não-homogêneo e a terna

x + y + 2z = 9 S2 : 2x + 4y − 3z = 1 4x + 8y − 6z = 2 admite infinitas soluções, por exemplo,
(35/2 , −17/2, 0) e (12, −5, 1) .

{

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Notas de aulas – Geometria Analítica e Álgebra Linear 3

Definição: Um sistema linear S é:
a) b) c)

incompatível, se S não admitir solução; compatível determinado, se S admitir uma única solução; compatível indeterminado, se S admitir mais que uma solução. S1 é compatível determinado enquanto que

Observações: 1) No exemplo anterior S2

é compatível indeterminado. (0, 0, ... , 0) é solução.

2) Todo sistema homogêneo é compatível pois

Operações elementares. Um sistema S pode ser