Determinantes

Determinantes
Histórico: Embora tenha-se registro de publicação chinesa referente a resolução de sistemas de equações através de matrizes em 250 AC, no ocidente o assunto começou a ser estudado no século XVII através de trabalhos de Leibniz, Cramer, Maclaurin, Lagrange e outros. Só no século XIX o assunto determinante mereceu um estudo mais sistemático através de trabalhos de Cauchy e Jacobi.
Determinante: Número associado a uma matriz quadrada.
Representação: Sendo a matriz A = [aij], seu determinante pode ser dado por det A ou

A ou det[aij].

Ordem: A ordem de um determinante é definida em função da ordem da matriz a qual está associado.
Ex.: A =

 3 2


− 1 π 

detA tem ordem 2, pois A = [aij]2x2.

Cálculo do Determinante: a • 1 Ordem: det [a] = a a  a11
a
 21

Ex.: det [-3] = -3

a12 
= a11 . a22 – a21 . a12 a 22 

•

2 Ordem: det

•

3 Ordem (Regra de Sarrus):

Ex.: det

 2 3
− 1 4 = 2.4 – (-1).3 = 11



a

 a11

det a 21

a 31

a13  a 23  = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12 a33 

a12 a 22 a 32

Dois métodos de visualização podem ajudar no cálculo do determinante de ordem 3:

a11

a12

a13 a11

a12

a 21 a 31

a 22 a 32

a 23 a 21 a 33 a 31

a 22 a 32

a11 a21 a12 a22 a13 a23 a31 a11 a21

a32 a12 a22

a33 a13 a23

2 3 −1
Ex.: det

5 2 0 = -12 + 0 – (-2) – (0) – (-45) = 15
1 4 −3

Método para rebaixamento de ordem de determinantes
Precisaremos, a princípio, ver dois conceitos:
Usando como referencial uma matriz de ordem 3:

5 4
3


A = −1 − 2 0


 6
7 1
-

Menor Complementar (Dij)
Menor complementar da matriz A, pelo elemento aij, é o determinante associado à matriz quadrada que se obtém de A, suprimindo a linha e a coluna que contêm o elemento aij considerado. Assim, por exemplo: D11 = det

−2 0
7

1

= -2 – 0 = -2

D32 = det

3

4

−1 0

= 0 – (-4) = 4

-

Cofator (Cij)
Denomina-se cofator do elemento aij de A o número real:
Cij = (-1)i + j.Dij

Assim:
C13 = (-1)

1+3