Determinante

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
A=

a11 a12 a21 a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como: det(A) = a11 a22 - a21 a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por: a11 a12 a13
A= a21 a22 a23 a31 a32 a33 definimos o determinante de A, como: det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23
- a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Regra prática de Sarrus

Dada a matriz A de ordem 3: a11 a12 a13
A= a21 a22 a23 a31 a32 a33
Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo. a11 a12 a13 a11 a12 Produto cor amarela +a11a22a33 a21 a22 a23 a21 a22 Produto cor verde +a12a23a31 a31 a32 a33 a31 a32 Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo. a11 a12 a13 a11 a12 Produto cor rosa -a11a22a33 a21 a22 a23 a21 a22 Produto cor bege -a12a23a31 a31 a32 a33 a31 a32 Produto cor khaki -a13a21a32
O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais: det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13
Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.
1. Se In é a matriz identidade, então: det(In) = 1
2. Se N é uma matriz nula, então: det(N) = 0
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(A) = 0
4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é: det(At) = det(A)
5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz
A por