Derivadas parciais calculo ii

Disciplina: Cálculo Diferencial de Integral II

Limites de Funções de Duas ou Mais Variáveis
Dada uma função f = f(x,y), dizemos que o limite de f é igual a L quando (x,y) se aproxima de um ponto de referência (a,b), se pudermos tornar os valores de f(x,y) tão próximos de L conforme (x,y) se aproximar de (a,b). Nesse caso escrevemos: lim f(x, y) = L x →(a,b)

O conceito de limite novamente está associado ao conceito de tendência.

1)De quantas formas diferentes podemos nos aproximar de um ponto no eixo real?
2) De quantas formas diferentes podemos nos aproximar de um ponto no plano?
3) Como você relaciona essas informações com o conceito de limite?

Derivação de Funções de Duas Variáveis: Derivadas Parciais
Como visto anteriormente, o cálculo de limites com duas ou mais variáveis é difícil, ainda mais em indeterminações.A definição da derivada de uma função de duas variáveis é dada por f’ (x0, y0) =

lim

( x , y )→( x0 , y0 )

f ( x, y ) − f ( x0 − y 0 ) d (( x, y ), ( x0 , y0 ))

onde d((x,y), (x0,y0)) é a distância entre os pontos (x,y) e (x0,y0).
Se nos dermos conta de que esta expressão gera, na maior parte das vezes, uma indeterminação, então fica claro que não é possível obter "a" derivada de uma função de duas ou mais variáveis, em geral.
Este problema pode ser contornado através do conceito de derivada parcial.
A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis é obtida pela derivação de uma curva que represente um caminho sobre a função e paralelo à variável escolhida. Por conseqüência, as demais variáveis de entrada não variam ao longo desse caminho. Assim, uma derivada parcial é obtida considerando-se apenas uma variável de cada vez.
Ou seja:

•

a derivada parcial de f em relação a x considera apenas x como variável. Notações: fx ou •

∂f
∂x

a derivada parcial de f em relação a y considera apenas y como variável. Notações: fy ou •

∂f
∂y

a derivada parcial de f em relação a z