Func Parte2 handout

3. Derivadas de funções reais de duas variáveis reais
Derivadas parciais de 1 a e 2 a ordem

De…nição de derivada parcial
De…nição: Seja z = f (x, y ) uma função com Df
Chama-se:
1

derivada parcial de f em ordem a x no ponto (x0 , y0 ) ao seguinte limite, se existir, f (x0 + h, y0 )
∂f
(x0 , y0 ) = lim
∂x
h h !0

2

IR2 , e seja (x0 , y0 ) 2 Df .

f ( x0 , y0 )

.

derivada parcial de f em ordem a y no ponto (x0 , y0 ) ao seguinte limite, se existir, ∂f f ( x0 , y0 + h )
(x0 , y0 ) = lim
∂y
h h !0

Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

II. Funções reais de duas variáveis reais

f ( x0 , y0 )

.

ISCAC – 2014/2015

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Observação: Na de…nição de ∂∂xf (x0 , y0 ), apenas se considerou o acréscimo h para a variável x, tomando-se y constante e igual a y0 .
Assim, para construir a função derivada parcial de f em ordem a x, que a cada
(x, y ) 2 Df associa caso exista ∂∂xf (x, y ), na prática, supõe-se que y é constante e usam-se as regras de derivação conhecidas para funções de uma variável.
Analogamente, obtém-se a função derivada parcial de f em ordem a y .
Tal como acontece nas funções de…nidas por ramos de uma variável real, também nas funções de…nidas por ramos de duas variáveis reais, as regras de derivação não se podem usar apenas em "pontos de mudança de ramo", recorrendo-se, nesse caso, à de…nição.
Exercício: Para cada uma das funções seguintes, calcule, caso existam as derivadas parciais nos pontos indicados:
(a) f (x, y ) = 2xy + y 2

(b) g (x, y ) =

8
>
<
>
:

x 3 ; P0 = (1, 2)

2xy
3+x

, x 6=

3

0

, x=

3

Matemática Aplicada II (Gestão de Empresas)

; P0 = ( 3, 0) e P1 = (0, 3) .

II. Funções reais de duas variáveis reais

ISCAC – 2014/2015

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(a) Seja f (x, y ) = 2xy + y 2

x 3 de domínio IR2 . Como se trata de uma função

de…nida por uma única expressão em todo o domínio, as derivadas parciais de f em qualquer ponto (x, y ) 2 Df são dadas por:
∂f
(x, y )
∂x
∂f
(x, y )
∂y

=
=

∂
∂x
∂
∂y

3x 2

2xy + y 2

x 3 = 2y

2xy + y 2

x 3 =