Derivada matemática

DEMOSTRAÇÃO DA DERIVADA DA TAXA DE VARIAÇÃO E MÉDIA E TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA

Dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua derivada no ponto x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva.
De acordo com a relação ∆x / ∆y, temos que: partindo da ideia de existência do limite. Temos que a taxa de variação instantânea de uma função y = f(x) em relação a x é dada pela expressão dy / dx.
Precisamos estar cientes de que a Derivada é uma propriedade local da função, isto é, para um determinado valor de x. Por isso não podemos envolver toda a função. Observe o gráfico a seguir, ele demonstra a intersecção entre uma reta e uma parábola, função do 1º grau e função do 2º grau respectivamente: A reta consiste na derivação da função da parábola. Vamos determinar as variações de x quando aumenta ou diminui seus valores. Considerando que e x varia de x = 3 para x = 2, calculando ∆x = 2 – 3 = –1 e ∆y:

Agora vamos determinar a derivada da função y = x² + 4x + 4. y + ∆y = (x + ∆x)² + 4(x + ∆x) + 4 – (x² + 4x + 4) y + ∆y = x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 – x² – 4x – 4 y + ∆y = 2x∆x + ∆x² + 4∆x A derivada da função y = x² + 4x + 8 é a função y’ = 2x + 4.
Observe o gráfico:

DEMOSTRAÇÃO DAS REGRAS DA DERIVADA DE FUNÇÃO CONSTANTE E DA FUNÇÃO POTÊNCIA
Derivada da Função Constante
A função constante y = a tem por gráfico uma reta paralela à abscissa. Fig. 1- Gráfico da Função Constante

Como a tangente à “curva” em qualquer ponto é igual a zero, e como a tangente é a derivada, tem-se: fornecendo a primeira regra de derivação: a derivada de uma constante é zero. Considerando a função y’ = 0, sua representação no gráfico y’ x x é a reta que coincide com o eixo dos x. Pensando somente no eixo y', pode-se dizer que essa função está