Cálculo

TRANSFORMACOES LINEARES PLANAS
Transformação linear plana é toda função linear cujo domínio e contradomínio constituem o R^2. Serão estudadas algumas de especial importância e suas correspondentes interpretações geométricas, ficando a cargo de o leitor verificar que são lineares.
- Reflexões
a) Reflexão em relação ao eixo dos x
Essa transformação linear leva cada ponto ou vetor (x,y) para a sua imagem (x, -y), simétrica em relação ao eixo dos x:

f:R² →R²,f(x,y)= (x, -y) (Figura 3.8.1a)

A matriz canônica dessa transformação e:
A = [■(1& 0@0&-1)]
Logo:
[■(x@-y)]=[■(1&0@0&-1)] [■(x@y)]
b) Reflexão em relação ao eixo dos y f:R² →R²,f(x,y)= (-x, y) (Figura 3.8.1b)

A matriz canônica dessa transformação e:
A = [■(-1& 0@0&1)],
Logo,
[■(-x@y)]=[■(-1&0@0&1)] [■(x@y)]
c) Reflexão em relação à origem f:R² →R²,f(x,y)= (-x, -y) (Figura 3.8.1c)

A matriz canônica dessa transformação e:
A = [■(-1& 0@0&-1)],
Logo,
[■(-x@-y)]=[■(-1&0@0&-1)] [■(x@y)]
d) Reflexão em relação à reta y = x f:R² →R²,f(x,y)= (y, x) (Figura 3.8.1d)

A matriz canônica dessa transformação é:
A = [■(0& 1@1&0)],
Logo,
[■(y@x)]=[■(0&1@1&0)] [■(x@y)]
e) Reflexão em relação à reta y = - x f:R² →R²,f(x,y)= (-y,-x) (Figura 3.8.1.e)
A matriz canônica dessa transformação é:
A = [■(0&-1@-1&0)],

Logo,
[■(-y@-x)]=[■(0&-1@-1&0)] [■(x@y)]
- Dilatações e Contrações
a) Dilatação OU contração na direção do vetor f:R² →R²,f(x,y)= α(x, y) = (αx, αy), α є R (Figura 3.8.2.a)
A matriz canônica dessa transformação é:
A = [■(α&0@0&α)],
Logo,
[■(αx@αy)]=[■(α&0@0&α)] [■(x@y)]

Observe o leitor que
- se I α I > 1, dilata o vetor;
- se I α I < 1, f contrai o vetor;
- se α = 1, é a identidade I;
- se α < O, f muda o sentido do vetor.
• A transformação f: R² →R²,f(x,y)= 1/2 (x,y) = (x/2,y/2) é um exemplo de contração.
b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x
f:R²